[論文レビュー] A new family of MRD-codes

Bence Csajbók, Giuseppe Marino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Coding theory and cryptography被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 かつ gcd(s,n) = 1 を満たす b ∈ Fq^{2n} に対して定義される、Fq^{2n} × Fq^{2n} 内の Fq-線形最大散らばび部分空間の新規族 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} を導入する。これらの部分空間は、q > 2 の場合 (6,6,q;5) および奇数 q の場合 (8,8,q;7) のパラメータを持つ、既知の Gabidulin や Sheekey 型の構成を超える、非同値な MRD 符号をもたらす。

ABSTRACT

We introduce a family of linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^{2n})$ arising from maximum scattered linear sets of pseudoregulus type of $\mathrm{PG}(3,q^{n})$. For $n=3,4$ and for certain values of the parameters we show that these linear sets of $\mathrm{PG}(1,q^{2n})$ are maximum scattered and they yield new MRD-codes with parameters $(6,6,q;5)$ for $q>2$ and with parameters $(8,8,q;7)$ for $q$ odd.

研究の動機と目的

• 特定の q に対して、パラメータ (6,6,q;5) および (8,8,q;7) を持つ Fq-線形 MRD 符号の新規族を構成すること。
• 新規の線形集合が最大散らばびであり、以前に知られていた MRD 符号の構成と同値でないことを示すこと。
• PG(3,q^n) 内の擬正則型線形集合を用いて、Fq^{2n} × Fq^{2n} 内の最大散らばび Fq-部分空間の構成を一般化すること。
• m=6 および m=8 に対して、それぞれ q ≥ 3 および奇数 q の条件下で、このような部分空間の明示的無限族を提供すること。

提案手法

• b ∈ Fq^{2n} で N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 かつ 1 ≤ s ≤ 2n−1、gcd(s,n)=1 を満たすものに対して、Fq-部分空間 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} を定義する。
• 関連行列のランクと次元の議論を用いて、線形集合 L_{Ub,s} の各点の重みが 2 以下であることを証明する。
• 線形写像の行列表現の 6×6 部分行列の行列式を用いて、重みが 3 より大きい点は ⟨(1,0)⟩ のみであり、N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 のときこの点は除外されることを示す。
• m=6 および m=8 の場合、定理 7.2 の行列式式が b² = −1 のとき 0 にならないことから、部分空間 Ub,1 が最大散らばびであることを確認する。
• 有限体拡張におけるトレース関数とノルム関数を用いて、重要な式の消滅を分析し、非散らばびケースを除外する。
• GAP を用いた計算ツールを用いて、小規模な q に対して散らばび性を検証し、最大散らばび部分空間をもたらす異なるノルム値の数に関する予想を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の Gabidulin や Sheekey 型の族を超えて、Fq^{2n} × Fq^{2n} 内の最大散らばび Fq-部分空間の新規族を構成できるか？
• RQ2 これらの新規部分空間から得られる MRD 符号は、同じパラメータを持つ以前に知られていた MRD 符号と同値でないか？
• RQ3 b ∈ Fq^{2n} に対して、部分空間 Ub,s = {(x, bx^{qs} + x^{q^{s+n}}) : x ∈ Fq^{2n}} が最大散らばびであるための条件は何か？
• RQ4 固定された m=2n に対して、N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 を満たす変化する b に対して、Ub,s から得られる非同値な最大散らばび部分空間はいくつ存在するか？
• RQ5 これらの構成は、方向集合および Rédei 型ブロッキングセットの理論的最大サイズに達する関数やブロッキングセットの新規例をもたらすか？

主な発見

• m=6 および q>2 の場合、b² = −1 のときの部分空間 Ub,1 は Fq^6 × Fq^6 内で最大散らばび Fq-部分空間をなす。これにより、パラメータ (6,6,q;5) の新しい MRD 符号が得られる。
• m=8 および奇数 q の場合、b² = −1 のときの部分空間 Ub,1 は Fq^8 × Fq^8 内で最大散らばびであり、パラメータ (8,8,q;7) の新しい MRD 符号をもたらす。
• m>4 かつ N_{q^{2n}/q^n}(b) ≠ 1 のとき、構成された線形集合 L_{Ub,s} は最大散らばびであり、すべての点の重みは 2 以下である。
• 理論的分析と計算的検証により、対応する MRD 符号は、同じパラメータを持つ以前に知られていた MRD 符号と同値でないことが確認された。
• q ≤ 32 の場合、最大散らばび部分空間をもたらす異なるノルム値 N_{q^6/q^3}(b) の数は、⌊(q²+q+1)(q−2)/2⌋ であると予想される。これは、この族にさらなる新しい例があることを示唆する。
• GAP を用いた計算結果により、m=6 の場合 q=3,4、m=8 の場合 q≤8（偶数）および q≤11（奇数）において、散らばび性が確認され、理論的結果を支援する。