[論文レビュー] A New Family of Surfaces with K^2=7 and p_g=0

Yifan Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、次数1の弱デル・ペzzo表面の$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-被覆として、$K^2 = 7$ および $p_g = 0$ である滑らかな最小一般型表面の新しい族を構成する。 canonical 除 canonical 除数は非常に豊富であり、双 canonical 写像は双有理的（任意の対合の合成ではない）であり、Blochの予想を満たす。これにより、既知の伊藤表面とは区別される。

ABSTRACT

We construct a new family of minimal smooth surfaces of general type with K^2=7 and p_g= 0. We show that for a surface in this family, its canonical divisor is ample and its bicanonical morphism is birational. We prove that these surfaces satisfy Bloch's conjecture.

研究の動機と目的

• 一般型表面で $K^2 = 7$ および $p_g = 0$ を満たす新しい最小表面族の構成により、このような表面の分類における空白を埋める。
• 既存の伊藤表面とは区別する。伊藤表面では双 canonical 写像の次数が2であり、対合の合成で構成される。
• 背理法と [K27II] の結果を用いて、新規表面の双 canonical 写像が双有理的であることを証明する。
• 最近の [BlochInoue] の結果を用いて、表面がBlochの予想を満たすことを確認する。すなわち、$H^2(S, \mathcal{O}_S) = 0$ ならば、0次元サイクルの Chow 群が自明である。
• 対合による商の新たな数値的可能を実現する。Kodaira次元は $-\infty$, $0$, および $1$ をとる。

提案手法

• 一般の第8点 $p$ が特定の曲線を避けるように、$\mathbb{P}^2$ を8点（$p_0, p_1, p_2, p_3$ およびそれらの無限遠近点を含む）に blowing up して、次数1の弱デル・ペzzo表面を構成する。
• 弱デル・ペzzo表面上に3つの除集合 $D_1, D_2, D_3$ を定義し、これらを用いて二重被覆（bidouble cover）を構成する。
• 4個のノードを持つ立方曲面の最小解消における正規化手続きを適用し、新たな除集合類 $\tilde{D}_1, \tilde{D}_2, \tilde{D}_3$ を得る。
• 正規化された除集合を用いて、$\tilde{\pi}: \widetilde{S} \to \widetilde{Y}$ を二重被覆として構成し、被覆が有限かつ平坦であることを保証する。
• [K27II] における双 canonical 写像の分類を用い、背理法により、得られた表面 $S$ の双 canonical 写像が双有理的であることを証明する。
• 結果 [BlochInoue] を用いて、$S$ がBlochの予想を満たすことを確認する。すなわち、$H^2(S, \mathcal{O}_S) = 0$ ならば、0次元サイクルの Chow 群が自明である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型表面で $K^2 = 7$ および $p_g = 0$ を満たす、既知の伊藤表面とは異なる新しい表面族を構成できるか？
• RQ2 このような表面の双 canonical 写像は双有理的のままであるか、それとも伊藤表面と同様に対合の合成で構成されるか？
• RQ3 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ の3つの対合による表面の商のKodaira次元はそれぞれどれか？
• RQ4 その不変量と幾何的性質を踏まえて、これらの表面はBlochの予想を満たすか？
• RQ5 次数1の弱デル・ペzzo表面の$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-被覆による構成は、伊藤表面と同値でない新しい例を生み出すことができるか？

主な発見

• 構成された表面は、$K^2 = 7$ および $p_g = 0$ を満たす一般型最小表面族を形成し、伊藤表面とは異なる。
• その族に属する各表面の canonical 除集合は非常に豊富であり、非自明な有理型自己同型を持たない一般型表面であることを保証する。
• 双 canonical 写像は双有理的であり、伊藤表面とは対照的に、その次数は2で、対合の合成で構成される。
• 表面の3つの対合による商は、それぞれKodaira次元 $-\infty$, $0$, $1$ をとり、[bidoubleplane] および [Lee] で示された新たな数値的可能を実現する。
• Blochの予想は、[BlochInoue] の結果を表面の不変量と幾何に適用することで確認された。
• 次数1の弱デル・ペzzo表面の$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$-被覆による構成は、双有理的双 canonical 写像および商の不変量により、伊藤表面と同値でない族を生み出す。