[論文レビュー] A new formulation of asset trading games in continuous time with essential forcing of variation exponent

Kei Takeuchi, Masayuki Kumon+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Aug 2, 2007

Financial Markets and Investment Strategies被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、投資家が離散的で経路に依存する時刻に取引を行う連続時間資産取引ゲームのための新しいゲーム理論的枠組みを導入する。これにより、投資家は資産価格経路の変動指数を正確に2に強制することが可能になる。高周波数の離散時間ベイズ戦略を連続時間に埋め込み、カルバック・ライバラー情報を利用することで、市場の経路が2次変動から逸脱する場合、分数 Browm運動のような確率過程の仮定を一切せずとも、資本の指数的成長を達成できる。

ABSTRACT

We introduce a new formulation of asset trading games in continuous time in the framework of the game-theoretic probability established by Shafer and Vovk (Probability and Finance: It's Only a Game! (2001) Wiley). In our formulation, the market moves continuously, but an investor trades in discrete times, which can depend on the past path of the market. We prove that an investor can essentially force that the asset price path behaves with the variation exponent exactly equal to two. Our proof is based on embedding high-frequency discrete-time games into the continuous-time game and the use of the Bayesian strategy of Kumon, Takemura and Takeuchi (Stoch. Anal. Appl. 26 (2008) 1161--1180) for discrete-time coin-tossing games. We also show that the main growth part of the investor's capital processes is clearly described by the information quantities, which are derived from the Kullback--Leibler information with respect to the empirical fluctuation of the asset price.

研究の動機と目的

• 非標準解析を避けるゲーム理論的確率における資産取引ゲームの取り扱いやすい連続時間定式化の開発。
• 経路に依存するタイミングを持つ離散時間取引戦略を可能にし、連続的価格経路の長期的挙動に影響を与えること。
• 市場の実際の挙動にかかわらず、投資家が市場経路の変動指数を正確に2に強制できる条件を確立すること。
• 経験的フラクチュエーションからのカルバック・ライバラー情報発散を用いて、投資家の資本の成長を定式化し、情報理論と金融戦略を結びつけること。
• 確率的仮定を課さずに、個々の連続的価格経路に対して成り立つパスワイズな結果を提供すること。

提案手法

• 市場は連続的に動くが、投資家は過去に依存する離散的時刻にのみ取引を行う連続時間ゲームを定式化する。
• 価格の変動が事前に定義されたしきい値に達した際に取引が発生するリミットオーダー戦略を用い、市場のランダム性を仮定せず高周波取引を可能にする。
• 以前にコイントスゲームのために開発された高周波数の離散時間ベイズ戦略を、連続時間枠組みに埋め込む。
• Kumon, Takemura, and Takeuchi (2008) のベイズ戦略を離散時間ゲームに適用し、ベータ・二項分布の事前分布を用いて価格変動の信念をモデル化する。
• 投資家の資本の成長を、特に経験的と期待される価格フラクチュエーションのカルバック・ライバラー発散を用いた情報理論的量で表現する。
• 全変動と局所的フラクチュエーションパラメータの観点からカルバック・ライバラー発散を近似し、資本過程の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間市場において、投資家は経路に依存する離散的取引のみを用いて、資産価格経路の変動指数を正確に2に強制できるか？
• RQ2 確率過程を仮定しない場合、投資家の資本成長は市場経路が2次変動からどれほど逸脱しているかにどのように依存するか？
• RQ3 カルバック・ライバラー情報は、ゲーム理論的枠組みにおける資本の指数的成長を定量化するために果たす役割は何か？
• RQ4 離散時間における高周波数リミットオーダー戦略を連続時間ゲームに埋め込むことで、市場の性質に対するパスワイズな制御が可能になるか？
• RQ5 投資家の資本が無限大に発散する条件は何か？ これは価格経路のホーラー指数とどのように関係するか？

主な発見

• 投資家は、ベイズ更新に基づく高周波数リミットオーダー戦略を用いることで、資産価格経路の変動指数を正確に2に強制することが可能である。
• 市場経路のホーラー指数 H > 0.5 であり、局所的フラクチュエーション |L(T)| ≥ A/4 である場合、投資家の資本は指数的に成長し、無限大に発散する。
• 経路の全変動が概ね caBk に等しい場合、資本成長率は a(1−B)k と L2(T) を含む項によって漸近的に支配され、主な項は経路のフラクチュエーションと変動の比に依存する。
• a1 = a2 の場合、資本の指数的成長部分は a(1−B)k / c × L2(T) で記述され、H > 0.5 かつ |L(T)| ≥ A/4 のとき、この項が成長を支配する。
• a1 ≠ a2 の場合、H > 0.5 かつ |L(T)| ≥ A/4 のとき、資本は依然として無限大に発散する。また H < 0.5 のときにも発散するため、異なる経路の滑らかさの程度に対しても戦略の強靭性が示される。
• 資本の指数的成長は、2次変動の仮定下での期待される挙動と経験的価格フラクチュエーションの間のカルバック・ライバラー発散によって正確に定量化され、情報理論と金融パフォーマンスの直接的な関連が示される。