[論文レビュー] A new fractional derivative and its fractional integral with some example

Fahed Zulfeqarr, Amit Ujlayan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、α ∈ [0,1] というパラメータを用いた極限によって定義される、新しい分数階微分である変形微分（deformable derivative）を導入する。これは関数およびその通常微分の両方を一般化する。変形微分と通常微分の間には線形関係が成立し、ロルの定理、平均値の定理、テイラーの定理の類似形が証明され、それに応じた分数階積分が定義される。この枠組みにより、線形分数階微分方程式が効果的に解かれることが示され、変換によって古典的ODEと同等になることが確認された。

ABSTRACT

A new derivative, called deformable derivative, is introduced here which is equivalent to ordinary derivative in the sense that one implies other. The deformable derivative is defined using limit approach like that of ordinary one but with respect to a parameter varying over unit interval. Thus it could also be regarded as a fractional derivative. Reason of calling it as deformable derivative is because of its intrinsic property of continuously deforming function to derivative. This is substantiated by its linear connection to function and its derivative. Besides discussing some of its basic properties, we discover the forms of Rolle's, Mean Value and Taylor's theorems. The fundamental theorem of calculus for this fractional derivative could be taken as definition of its fractional integral. As a theoretical application some fractional differential equations are solved.

研究の動機と目的

• 関数とその通常微分の間を滑らかに補間する新しい分数階微分、すなわち変形微分を導入すること。
• 変形微分の厳密な数学的枠組みを確立し、古典的微分との関係を明示すること。
• ロルの定理、平均値の定理、テイラーの定理といった古典的微分法の定理を、変形微分の文脈に拡張すること。
• それに応じた分数階積分作用素を定義し、分数階微分方程式を解く上でその根幹的役割を証明すること。
• 線形分数階微分方程式を解くことにより、変形微分の実用的有用性を示すこと、解析的解を導出すること。

提案手法

• 変形微分 D^αf(t) を次式で定義する： lim_{ε→0} [(1+εβ)f(t+αε) - f(t)] / ε、ただし α+β=1 とする。
• 基本的恒等式 D^αf(t) = βf(t) + αDf(t) を導出する。これにより、α-微分可能性と通常微分可能性の等価性が示される。
• 通常微分の存在が変形微分の存在を意味し、逆に変形微分の存在が通常微分の存在を意味することを証明する。
• 分数階積分作用素を次式で定義する： I^α_a f(t) = (1/α) e^{(-β/α)t} ∫_a^t e^{(β/α)x} f(x) dx。
• 変形微分における微積分の基本定理を確立し、D^α と I^α_a が互いに逆作用素として対応することを示す。
• 線形分数階微分方程式を解く応用において、それらを標準的一階ODEに変換する枠組みを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 α を 0 から 1 に変化させた際、変形微分の幾何的・物理的解釈は何か？
• RQ2 変形微分は、リーマン＝リウヴィル型やカプト型といった古典的分数階微分とどのように関係しているか？
• RQ3 ロルの定理、平均値の定理、テイラーの定理といった古典的定理は、変形微分の枠組みに一般化可能か？
• RQ4 変形微分と通常微分との明確な関係は何か？
• RQ5 変形微分はどのようにして分数階微分方程式を解くのに用いられ、その解析的解は何か？

主な発見

• 変形微分は D^αf(t) = βf(t) + αDf(t) を満たし、α-微分可能性が通常微分可能性と等価であることを証明した。
• 変形微分は α=0 のとき関数そのもの、α=1 のとき通常微分に滑らかに補間され、両者に対して線形依存性を示す。
• ロルの定理、平均値の定理、テイラーの定理の類似形が変形微分に対して確立され、古典的微分法がこの分数階設定に拡張された。
• 分数階積分作用素 I^α_a f(t) は、変形微分を逆転させるように定義され、微積分の基本定理を満たす。
• 線形分数階微分方程式の解は、標準的ODEに変換することで導出される。例えば、D^{1/2}y + y = te^{-t} に対しては、y(t) = Ce^{-3t} + (t - 1/2)e^{-t} が得られる。
• 方程式 D^{α₂}[D^{α₁}y] = 0 の一般解は、異なる固有値の場合は y = C₁e^{-(β₁/α₁)t} + C₂e^{-(β₂/α₂)t}、重解の場合は (C₁ + C₂t)e^{-(β/α)t} となる。