[論文レビュー] A new fractional derivative of variable order with non-singular kernel and fractional differential equations

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ψ$-Caputoおよび$ψ$-Riemann-Liouville形式に基づく、非特異的核を有する可変順位の2つの新しい分数階微分を導入し、古典的ケースを極限として含む一般化された分数的作用素のクラスを可能にする。主な貢献は、非線形可変順位分数階微分方程式に対する有界性および解の一意性を保証する比較原理および収束結果の確立にある。

ABSTRACT

In this paper, we introduce two new non-singular kernel fractional derivatives and present a class of other fractional derivatives derived from the new formulations. We present some important results of uniformly convergent sequences of continuous functions, in particular the Comparison's principle, and others that allow, the study of the limitation of fractional nonlinear differential equations.

研究の動機と目的

• 可変順位および参照関数 $ψ(t)$ を用いて、既存の定式化を一般化する非特異的核を有する新しい分数階微分のクラスを開発すること。
• 非線形可変順位分数階微分方程式を分析するための理論的基盤（特に収束および比較原理）を確立すること。
• 新しい微分が、$α(t) \to 1$ または $α(t) \to 0$ の極限において、古典的分数階微分作用素を回復することを示すこと。
• 非線形分数階微分方程式に含まれる新しい作用素を用いた解の有界性および一意性を保証する十分条件を提供すること。

提案手法

• Mittag-Leffler関数を用いて、非特異的核を有する可変順位の $ψ$-Riemann-Liouvilleおよび $ψ$-Caputoの2つの新しい分数階微分を提案する。
• 関数 $ψ(t)$ に関する可変順位Riemann-Liouville分数階積分を定義し、コンパクト区間上で一様収束を保証する。
• 指数的減衰を保証するため、$\beta \to 1$ のときのMittag-Leffler関数 $\mathbb{E}_{\beta}(z)$ を用いて、核の非特異性を確保する。
• 可変順位微分方程式における符号の分析と、$\alpha(t) \to 1$ または $\alpha(t) \to 0$ における極限の適用により、分数階微分方程式の比較原理を確立する。
• 平均値定理および連続関数の一様収束列の性質を用いて、解の挙動および一意性を分析する。
• 非線形項 $f(t,u)$ を $\lambda_1 u + h_1(t)$ および $\lambda_2 u + h_2(t)$（$\lambda_1, \lambda_2 < 0$）という線形関数で有界化することにより、解の推定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変順位および参照関数 $\psi(t)$ を用いて、非特異的核を有する新しい分数階微分のクラスを定式化できるか？
• RQ2 新しい分数階微分は、$\alpha(t) \to 1$ および $\alpha(t) \to 0$ の極限でどのように振る舞い、古典的分数階微分作用素を回復するか？
• RQ3 非線形分数階微分方程式に含まれる新しい微分を用いた解の有界性および一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 可変順位、非特異的核を有する分数階微分方程式に対して、比較原理を確立できるか？
• RQ5 非線形項に線形有界を適用することで、非線形分数階微分方程式の解をどのように推定できるか？

主な発見

• 新しい分数階微分は、可変順位 $\alpha(t)$ および単調かつ正の関数 $\psi(t)$ を用いたMittag-Leffler核によって定義され、非特異性および一様収束を保証する。
• $\alpha(t) \to 1$ の極限では古典的Caputo微分が回復され、$\alpha(t) \to 0$ の極限では恒等作用素が得られ、既知のケースと整合性が保証される。
• 比較原理が確立された：$^{C}\mathfrak{D}_{a+}^{\alpha(t);\psi}z(t) - \lambda z(t) \leq 0$ かつ $\lambda < 0$ ならば、$z(t) \leq 0$ が成り立つ。これにより解の有界性が保証される。
• 非線形方程式 $^{C}\mathfrak{D}_{a+}^{\alpha(t);\psi}u(t) = f(t,u)$ に対して、$f(t,u)$ が $u$ に関して非増加であれば、解は $H^1(a,b)$ 内で一意である。
• $f(t,u)$ が $\lambda_1 u + h_1(t)$ および $\lambda_2 u + h_2(t)$（$\lambda_1, \lambda_2 < 0$）で有界であれば、解 $u(t)$ は $v_2(t) \leq u(t) \leq v_1(t)$ を満たす。ここで $v_1, v_2$ は関連する線形方程式の解である。
• 比較および収束技術を用いることで、可変順位、非特異的核を有する非線形分数階微分方程式の解の存在、一意性、有界性が保証される。