[論文レビュー] A new Galois structure in the category of internal preorders

Alberto Facchini, Carmelo Antonio Finocchiaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正確な圏 C における内部準順序の圏 PreOrd(C) において、新しい前ねじれ理論 (Eq(C), ParOrd(C)) を確立し、内部部分順序への反図式が安定単位を持つことを示し、従って適切なガロア構造を誘導することを示している。C = Set の場合、PreOrd(Set) において単調・軽量因子化系が得られ、アレクサンドロフ離散空間および分割位相を介した位相的解釈が可能となる。

ABSTRACT

Let $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$ be the category of internal preorders in an exact category $\mathbb C$. We show that the pair $(\mathsf{Eq}(\mathbb C), \mathsf{ParOrd}(\mathbb C))$ is a pretorsion theory in $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$, where $\mathsf{Eq}(\mathbb C)$ and $\mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$) are the full subcategories of internal equivalence relations and of internal partial orders in $\mathbb C$, respectively. We observe that $\mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$ is a reflective subcategory of $\mathsf{PreOrd}(\mathbb C)$ such that each component of the unit of the adjunction is a pullback-stable regular epimorphism. The reflector $F:\mathsf{PreOrd}(\mathbb C) o \mathsf{ParOrd}(\mathbb C)$ turns out to have stable units in the sense of Cassidy, Hébert and Kelly, thus inducing an admissible categorical Galois structure. In particular, when $\mathbb C$ is the category $\mathsf{Set}$ of sets, we show that this reflection induces a monotone-light factorization system (in the sense of Carboni, Janelidze, Kelly and Paré) in $\mathsf{PreOrd}(\mathsf{Set})$. A topological interpretation of our results in the category of Alexandroff-discrete spaces is also given, via the well-known isomorphism between this latter category and $\mathsf{PreOrd}(\mathsf{Set})$.

研究の動機と目的

• 正確な圏 C における内部準順序の圏 PreOrd(C) に前ねじれ理論 (Eq(C), ParOrd(C)) を確立すること。
• 内部部分順序への反図式 F: PreOrd(C) → ParOrd(C) が安定単位を持つことを示し、これにより適切な圏的ガロア構造が誘導されることを示すこと。
• C = Set の特別な場合において、得られる単調・軽量因子化系を特徴づけること。
• PreOrd(Set) とアレクサンドロフ離散空間の圏との間の同型を介して、位相的解釈を提供すること。
• 準順序の代数的構造と T0 分離性や分割位相などの位相的性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• 内部同値関係の圏 Eq(C) と内部部分順序の圏 ParOrd(C) を用いて、PreOrd(C) における前ねじれ理論 (T, F) を定義する。
• 包含関手 ParOrd(C) ↪ PreOrd(C) が反射的であることを証明し、その反図式 F の単位の成分が引き戻し安定な正規エピモルフィズムであることを示す。
• カシディー、ヘーベルト、ケリーの意味での反図式 F が安定単位を持つことを示し、これにより適切なガロア構造が得られることを示す。
• ガロア構造によって誘導される因子化系 (E, M) を特徴づけ、E は F によって逆転される射の族、M は自明な被覆からなることを示す。
• C = Set に特化し、反射が PreOrd(Set) において単調・軽量因子化系 (E′, M*) を誘導することを示す。ここで E′ は自明なファイバー位相を持つ引き戻し安定正規エピモルフィズムからなる。
• PreOrd(Set) とアレクサンドロフ離散空間の圏 Alex の間の既知の同型を用い、代数的結果を位相的用語に翻訳する。特に、準順序関係と位相、T0／分離性の性質との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零対象を持たない圏 PreOrd(C) において、どのように前ねじれ理論を定義できるか？
• RQ2 内部準順序への反図式が安定単位を持つための条件は何か？
• RQ3 PreOrd(Set) における反射によって誘導される単調・軽量因子化系の構造はどのようなものか？
• RQ4 アレクサンドロフ離散空間における、準順序の代数的性質と位相的性質の関係は何か？
• RQ5 位相から誘導される準順序が同値関係になるのはいつか？これは位相にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 内部準順序の圏 PreOrd(C) において、ペア (Eq(C), ParOrd(C)) は前ねじれ理論をなしており、ParOrd(C) は反射的部分圏である。
• 反図式 F: PreOrd(C) → ParOrd(C) は安定単位を持つ。これにより、誘導されるガロア構造は適切である。
• C = Set の場合、反射により PreOrd(Set) に単調・軽量因子化系 (E′, M*) が誘導され、E′ は自明なファイバーホールド位相を持つ引き戻し安定正規エピモルフィズムからなる。
• PreOrd(Set) の射 f: A → B が M* に属するための必要十分条件は、f の各ファイバーが部分空間位相に関して T0 空間であることである。
• アレクサンドロフ離散空間において、位相から誘導される準順序が部分順序であるための必要十分条件は、その空間が T0 であることであり、同値関係であるための必要十分条件は、その位相が分割位相であることである。
• アレクサンドロフ離散空間の圏 Alex は、前ねじれ理論 (PartAlex, T0Alex) を持ち、PartAlex は分割位相を持つ空間からなる。T0Alex は T0 空間からなる。T0Alex への反射は、同じ閉包を持つ点を同定する商写像によって与えられる。