[論文レビュー] A New Game Invariant of Graphs: the Game Distinguishing Number

Sylvain Gravier, Kahina Meslem+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2人のプレイヤー（Gentle と Rascal）が固定された色数で頂点を交互に彩色する、グラフにおける新しい組合せゲーム不変量である「ゲーム区別数」を導入する。Gentle は最終的な彩色が非自明な対称性をすべて破る（つまり区別可能である）場合に勝利し、Rascal はそれ以外の場合に勝利する。主な貢献は、次元 $ n \geq 5 $ のハイパーキューブに対して、Rascal 先手のゲーム区別数が正確に 2 に等しいことの確立であり、偶数サイクルおよび自己同型的グラフに対しては、ゲーム不変量が古典的区別数の2乗で有界であることを示している。

ABSTRACT

The distinguishing number of a graph $G$ is a symmetry related graph invariant whose study started two decades ago. The distinguishing number $D(G)$ is the least integer $d$ such that $G$ has a $d$-distinguishing coloring. A distinguishing $d$-coloring is a coloring $c:V(G) ightarrow\{1,...,d\}$ invariant only under the trivial automorphism. In this paper, we introduce a game variant of the distinguishing number. The distinguishing game is a game with two players, the Gentle and the Rascal, with antagonist goals. This game is played on a graph $G$ with a set of $d\in\mathbb N^*$ colors. Alternately, the two players choose a vertex of $G$ and color it with one of the $d$ colors. The game ends when all the vertices have been colored. Then the Gentle wins if the coloring is distinguishing and the Rascal wins otherwise. This game leads to define two new invariants for a graph $G$, which are the minimum numbers of colors needed to ensure that the Gentle has a winning strategy, depending on who starts. These invariants could be infinite, thus we start by giving sufficient conditions to have infinite game distinguishing numbers. We also show that for graphs with cyclic automorphisms group of prime odd order, both game invariants are finite. After that, we define a class of graphs, the involutive graphs, for which the game distinguishing number can be quadratically bounded above by the classical distinguishing number. The definition of this class is closely related to imprimitive actions whose blocks have size $2$. Then, we apply results on involutive graphs to compute the exact value of these invariants for hypercubes and even cycles. Finally, we study odd cycles, for which we are able to compute the exact value when their order is not prime. In the prime order case, we give an upper bound of $3$.

研究の動機と目的

• 区別数のゲーム理論的変種を定義・研究し、プレイヤーが交互に頂点を彩色し、グラフの対称性を保つか破壊するのを目的とする。
• ゲーム区別数が有限または無限である条件を特定し、特に自己同型群の構造に注目する。
• 自己同型的グラフのクラスを定義・特徴付け、そのゲーム不変量が古典的区別数の2乗で有界であることを示す。
• 構造的および群論的性質を用いて、ハイパーキューブおよび偶数サイクルのゲーム区別数の正確な値を計算する。
• 奇数サイクル、特に素数順序のものにおけるゲームの挙動を調査し、計算的証拠に基づいて境界を予想する。

提案手法

• $ d $ 色を用いた2人プレイヤーの交互彩色ゲームとして区別ゲームを定義し、Gentle は区別可能な彩色を目指し、Rascal はそれを阻止しようとする。
• 2つの不変量を導入する：$ D_{\mathcal{G}}(G) $ は、Gentle が先手で勝つために必要な最小色数であり、$ D_{\mathcal{R}}(G) $ は Rascal が先手のときの同様の値である。
• 特に自己同型群に対合がなく、または特定の原始的作用を持つ場合に、$ D_{\mathcal{G}}(G) $ および $ D_{\mathcal{R}}(G) $ が無限大であるための十分条件を確立する。
• 自己同型群の作用においてサイズ2の完全ブロック系を持つグラフを「自己同型的グラフ」と定義し、軌道サイズや対称性の破壊戦略に対する構造的制御を可能にする。
• 群作用理論と軌道数え上げを用いて、自己同型的グラフに対して $ D_{\mathcal{R}}(G) \leq D(G)^2 $ を示し、ここで $ D(G) $ は古典的区別数を表す。
• これらの結果を応用して、正確な値を計算する：$ D_{\mathcal{R}}(Q_n) = 2 $（$ n \geq 5 $）、$ D_{\mathcal{R}}(Q_2) = D_{\mathcal{R}}(Q_3) = 3 $、$ D_{\mathcal{R}}(Q_4) \in \{2,3\} $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲーム区別数が有限である条件は何か？ 無限である条件は何か？
• RQ2 特定のグラフクラスに対して、ゲーム区別数が古典的区別数の関数として有界になるか？
• RQ3 次元 $ n \geq 4 $ のハイパーキューブに対して、Rascal 先手のゲーム区別数の正確な値は何か？
• RQ4 自己同型群の構造（特に原始的か非原始的か）がゲームの結果にどのように影響するか？
• RQ5 素数順序の奇数サイクルのゲーム区別数は 3 で有界であるか？ これはより大きな素数に対しても成り立つか？

主な発見

• 次元 $ n \geq 5 $ のハイパーキューブに対して、Rascal 先手のゲーム区別数は正確に 2 に等しい。すなわち、$ D_{\mathcal{R}}(Q_n) = 2 $。
• $ n = 2 $ および $ n = 3 $ の場合、ハイパーキューブの Rascal 先手のゲーム区別数は 3 に等しい。すなわち、$ D_{\mathcal{R}}(Q_2) = D_{\mathcal{R}}(Q_3) = 3 $。
• すべての $ n \geq 2 $ に対して、ハイパーキューブの Gentle 先手のゲーム区別数は無限大である。すなわち、$ D_{\mathcal{G}}(Q_n) = \infty $。
• 偶数サイクルおよびその他の自己同型的グラフに対して、Rascal 先手のゲーム区別数は、古典的区別数の平方以下に抑えられる。
• 非素数順序の奇数サイクルに対しては、両方のゲーム区別数の正確な値が計算され、それらが有限であり、サイクル長に依存することが示された。
• 素数順序 $ p \geq 11 $ の奇数サイクルに対しては、Gentle 先手のゲーム区別数が 2 であると予想されるが、すべてのこのようなサイクルに対しては 3 以下であることは既知である。