[論文レビュー] A new generalized prime random approximation procedure and some of its applications

Frederik Broucke, Jasson Vindas|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2021

Meromorphic and Entire Functions参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベルリング素数系を構成する際に、素数の個数関数と与えられた目標関数 F 間の乖離を非常に精密に制御する、新しい一般化された素数の確率的近似手順を導入する。この手法により、|πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 を達成する。従来の DMVZ 確率的スキームに比べ、誤差の上限を厳密に制御でき、その結果、ディリクレ級数に一意の零点をもつもの、滑らかに振る舞う一般化された数系、および大きな振動を示すベルリングゼータ関数に関する未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We present a new random approximation method that yields the existence of a discrete Beurling prime system $\mathcal{P}=\{p_{1}, p_{2}, \dotso\}$ which is very close in a certain precise sense to a given non-decreasing, right-continuous, nonnegative, and unbounded function $F$. This discretization procedure improves an earlier discrete random approximation method due to H. Diamond, H. Montgomery, and U. Vorhauer [Math. Ann. 334 (2006), 1-36], and refined by W.-B. Zhang [Math. Ann. 337 (2007), 671-704]. We obtain several applications. Our new method is applied to a question posed by M. Balazard concerning Dirichlet series with a unique zero in their half plane of convergence, to construct examples of very well-behaved generalized number systems that solve a recent open question raised by T. Hilberdink and A. Neamah in [Int. J. Number Theory 16 05 (2020), 1005-1011], and to improve the main result from [Adv. Math. 370 (2020), Article 107240], where a Beurling prime system with regular primes but extremely irregular integers was constructed.

研究の動機と目的

• 古典的な DMVZ 法に比べ、著しく改善された誤差制御を実現する、一般化された素数系を生成する洗練された確率的近似法の開発。
• 特に、収束半平面上に唯一の零点をもつディリクレ級数の存在に関する、ベルリング数論における未解決問題への対処。
• ヒルベルディンクとネアマが提示した最近の条件を満たす、滑らかに振る舞う一般化された数系の構築。
• 正規の素数をもつが、整数部分が極めて不規則なベルリング系の構築を改善し、素数の個数関数における乖離を有界に保つこと。

提案手法

• 本手法は、πₚ(x) − F(x) の制御をより厳密に行えるように、DMVZ 法とは根本的に異なる新しい分布則に従う確率変数を割り当てることで、離散的一般化素数系 𝒫 = {p_j} を構成する。
• |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 をすべての x ≥ 1 に対して満たすように、F が非減少、右連続、非有界であり、かつチェビシェフの不等式 F(x) ≪ x/log x を満たすという条件下で、修正された確率的スキームを適用する。
• 絶対連続でない測度 dF も近似可能であり、特異的または滑らかでない目標関数への応用が可能となる。
• 連続的な F に対しては、|πₚ(x) − F(x)| ≤ 1 を満たす厳密に増加する数列が得られ、滑らかな状況での精度が向上する。
• 本手法は、指数和に関する新たな評価に依拠している：|∑_{p_j ≤ x} p_j^{−it} − ∫₁ˣ u^{−it} dF(u)| ≪ √x + √(x log(|t|+1)/log(x+1))。この評価は DMVZ 評価の強さを保ちつつ、数え上げの制御をより厳密に可能にする。
• 本手法は、対象関数 Π_c(x) および π_c(x) に適用することで、対応する対数積分と振動項を組み合わせて構築された特定の素数系を構成するためにも応用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収束半平面上にちょうど一つの零点をもつディリクレ級数を構成することは可能か？
• RQ2 ヒルベルディンクとネアマが提示した最近の条件を満たす、滑らかに振る舞う一般化された数系は存在するか？
• RQ3 正規の素数をもつが、整数部分が極めて不規則なベルリング素数系を、素数の個数関数の乖離が有界であるように構成することは可能か？
• RQ4 F が非有界、右連続、非減少であり、チェビシェフの不等式を満たす任意の関数について、|πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 を達成することは可能か？

主な発見

• 本手法により、すべての x ≥ 1 に対して |πₚ(x) − F(x)| ≤ 2 を満たす一般化された素数系 𝒫 が構成され、DMVZ 法の √x の誤差境界を著しく改善する。
• 連続的な F に対しては、|πₚ(x) − F(x)| ≤ 1 を満たす厳密に増加する数列が得られ、より高い滑らかさと精度が保証される。
• 本手法はバラザールの問いに成功して解決し、収束半平面上にちょうど一つの零点をもつディリクレ級数を構成した。
• 正規の素数と極めて不規則な整数をもつ一般化された数系が構築され、従来の不連続な乖離を制御できない構成を改善した。
• 本手法により、右半平面 {Re s > 0} に零点を持たないベルリングゼータ関数の構成が可能となり、古典的リーマンゼータ関数と同様の挙動を示す。
• 本手法の核となる指数和の評価は保持される：|∑_{p_j ≤ x} p_j^{−it} − ∫₁ˣ u^{−it} dF(u)| ≪ √x + √(x log(|t|+1)/log(x+1))。この評価により、ゼータ関数の性質に対する解析的制御が保証される。