[論文レビュー] A New Geometric Proposal for the Hamiltonian Description of Classical Field Theories

M. Francaviglia, Marcella Palese+1 more|ArXiv.org|Nov 11, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、底多様体 X 上にファイバーする線束 Θ から構成される拡張された構成 bundle を用いて、古典的場理論の新しい幾何的ハミルトニアン枠組みを提案する。ハミルトニアン接続、多重シンプレクティック形式、および複合ファイバー束構造を導入することで、著者たちは、垂直な共変微分の核としての共変ハミルトン方程式を導出し、ポリシンプレクティックアプローチにおける標準的ハミルトン–ド・ドンデル方程式と同等であることを証明する。

ABSTRACT

We consider the geometric formulation of the Hamiltonian formalism for field theory in terms of {\em Hamiltonian connections} and {\em multisymplectic forms}. In this framework the covariant Hamilton equations for Mechanics and field theory are defined in terms of multisymplectic $(n+2)$--forms, where $n$ is the dimension of the basis manifold, together with connections on the configuration bundle. We provide a new geometric Hamiltonian description of field theory, based on the introduction of a suitable {\em composite fibered bundle} which plays the role of an {\em extended configuration bundle}. Instead of fibrations over an $n$--dimensional base manifold $\bX$, we consider {\em fibrations over a line bundle $\Tht$ fibered over $\bX$}. The concepts of {\em extended Legendre bundle}, {\em Hamiltonian connection}, {\em Hamiltonian form} and {\em covariant Hamilton equations} are introduced and put in relation with the corresponding standard concepts in the polymomentum approach to field theory.

研究の動機と目的

• 時間に依存する力学の一般化として、複数の独立変数を有する場理論に適用可能な、古典的場理論の幾何的ハミルトニアン形式を構築すること。
• 底多様体 X 上に線束 Θ を用いた新しい幾何的構成を導入することで、場理論におけるゲージ構造とポリモーメンタム形式を扱うこと。
• 重力理論の正準理論と重力エネルギーの統一的幾何的解釈を提供し、τ をパラメータとみなすことで重力エネルギーを「重力的電荷」として扱えるようにすること。
• 提案された形式と標準的ポリシンプレクティックアプローチ、特にハミルトン–ド・ドンデル方程式との厳密な対応関係を確立すること。
• 特に場理論と重力の文脈において、多重シンプレクティック構造を有するベクトル bundle に対する K-理論への未来的応用の基盤を築くこと。

提案手法

• 構成 bundle が線束 Θ にファイバーされ、さらに Θ が底多様体 X にファイバーされるという複合ファイバー束構造を導入し、拡張された構成空間を形成する。
• 複合束のジャンプ延長の双対として拡張されたレジェンドル束 ΠΘ を定義し、Θ の垂直接続 bundle に値を持つ微分形式を用いたポリモーメンタムの幾何的記述を可能にする。
• ラグランジアン L_H = (p̄ᵢ^λ yᵢ^λ − H)ω に関連するピカード–カルタン形式の引き戻しを用いて、J₁ΠΘ 上に VΘ に値を持つハミルトニアン形式 H を構成する。
• L_H のオイラー–ラグランジュ作用素としてハミルトニアン作用素 𝒪_H を定義し、それが共変ハミルトン方程式を定義する核を与える。
• 引き戻し接続を部分束 ΠΘ_φ ⊂ ΠΘ 上にとる関連する垂直共変微分 Δ̃_H,φ との核として、抽象的共変ハミルトン方程式を定義する。
• 複合ファイバー束上の接続理論を用いて、ΠΘ → X 上の標準的ハミルトニアン接続が、ΠΘ → Y 上の接続の引き戻しとして得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する力学の構造を保ちつつ、複数の独立変数を含む場理論のハミルトニアン形式を幾何的に拡張する方法は何か？
• RQ2 線束 Θ は、場理論におけるゲージ構造とポリモーメンタム変数をどのように符号化しているか？
• RQ3 提案された形式は、ポリシンプレクティックアプローチにおける標準的ハミルトン–ド・ドンデル方程式とどのように関係しているか？
• RQ4 拡張されたレジェンドル束および関連するハミルトニアン接続の幾何的構成は、重力エネルギーを「重力的電荷」として解釈する新たな視点を提供できるか？
• RQ5 垂直共変微分 Δ̃_H,φ は、抽象的ハミルトニアン力学と標準的場方程式を統合するために果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された形式は、線束 Θ 上の複合ファイバー束を用いることで、時間に依存する力学の均質的枠組みを一般化する、古典的場理論の新しい幾何的枠組みを導入する。
• J₁ΠΘ 上のハミルトニアン形式 H は、VΘ に値を持つラグランジアン L_H = (p̄ᵢ^λ yᵢ^λ − H)ω のピカード–カルタン形式であることが示され、変分原理との幾何的関係を確立する。
• ハミルトニアン作用素 𝒪_H の核は、yᵢ^λ = ∂ᵢ^λ H および p̄ᵢ^λλ = −∂ᵢ H の形の共変ハミルトン方程式を導出し、これは局所的に標準的ハミルトン–ド・ドンデル方程式と同等である。
• 抽象的共変ハミルトン方程式は、垂直共変微分 Δ̃_H,φ の核として定義され、この核が標準的ハミルトン–ド・ドンデル方程式と一致することが証明された。
• ΠΘ → X 上の標準的ハミルトニアン接続は、ΠΘ → Y 上の接続の引き戻しとして得られ、複合束構造と整合的であることが示された。
• τ をパラメータとみなすことにより、重力エネルギーが「重力的電荷」として幾何的に解釈可能であることが示され、正準重力理論および K-理論への応用のための有望な道筋が示された。