[論文レビュー] A new Hamiltonian formalism for singular Lagrangian theories

Steven Duplij|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2009

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ヘッセ行列が消える場合に通常のルジャンドル変換が失敗するため、特異ラグランジュ理論のための新しいハミルトニアン形式を提案する。特異ラグランジュ理論におけるハミルトニアン形式を、多変数クレールォー方程式の混合解（包絡線／一般解）を用いて一般化されたルジャンドル変換に拡張することで、ヘッセ行列がゼロとなる場合でも有効な形式を構築する。制約を回避するため、非動的運動量を除外し、退化座標をパラメータとして扱うことで、ディラック型の制約を必要としない自己無矛盾な特異系の記述を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a version of the Hamiltonian formalism based on the Clairaut equation theory, which allows us a self-consistent description of systems with degenerate (or singular) Lagrangian. A generalization of the Legendre transform to the case, when the Hessian is zero is done using the mixed (envelope/general) solutions of the multidimensional Clairaut equation. The corresponding system of equations of motion is equivalent to the initial Lagrange equations, but contains "nondynamical" momenta and unresolved velocities. This system is reduced to the physical phase space and presented in the Hamiltonian form by introducing a new (non-Lie) bracket.

研究の動機と目的

• ヘッセ行列がゼロとなるため、標準的なルジャンドル変換が失敗する特異ラグランジュ系に対して、自己無矛盾なハミルトニアン形式を構築すること。
• 多変数クレールォー方程式の混合（包絡線／一般解）解を用いて、ルジャンドル変換を一般化すること。
• 非動的運動量を除外し、退化座標をパラメータとして扱うことで、制約の導入を回避すること。
• 補助的条件を導入することなく、元のラグランジュ方程式と同等のハミルトニアンに類似した方程式系を導出すること。
• ヤコビ恒等式と反交換性の両方が成立しないにもかかわらず、時間発展を記述する新しい非リー括弧 $ \{X,Y\}_F $ を導入し、ハミルトニアン形式を可能にすること。

提案手法

• 多変数クレールォー方程式を解くクレールォー双対変換を用いて、ルジャンドル変換を一般化し、退化ラグランジュ関数を扱う。
• クレールォー方程式において、動的運動量 $ p_A $ とパラメータ $ \bar{p}_A $ を区別することで、混合解の導入を可能にする。
• 物理的および数学的根拠に基づき、退化運動量 $ \bar{p}_\alpha $ を除外した、正則運動量 $ p_i $ のみを含む制限された位相空間を定義する。
• 標準ポisson括弧に、場強度 $ F_{\alpha\beta} $ と逆行列 $ \bar{F}^{\alpha\beta} $ を含む項を加えた新しい括弧 $ \{X,Y\}_F $ を用いて運動方程式を導出する。
• 場強度行列がフルランクである場合、$ v^\beta = D_\alpha H_0 \bar{F}^{\alpha\beta} $ を用いて速度を代数的に解く。
• 方程式 (28)–(29) を用いて、時間発展が新しい括弧 (30) に従う形でハミルトニアン形式に再構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッセ行列がゼロとなる特異ラグランジュ系に対して、どのようにしてルジャンドル変換を一般化できるか？
• RQ2 多変数クレールォー方程式の混合解が、一貫性のあるハミルトニアン形式の構築において果たす役割は何か？
• RQ3 特異理論において制約を導入せずにハミルトニアン系を定式化できるか？
• RQ4 退化速度を有する系において、新しい非リー括弧 $ \{X,Y\}_F $ は時間発展をどのように記述するか？
• RQ5 退化運動量 $ \bar{p}_\alpha $ を位相空間から除外する物理的および数学的根拠は何か？

主な発見

• クレールォー方程式による一般化されたルジャンドル変換により、ヘッセ行列がゼロであっても、自己無矛盾なハミルトニアン形式を構築可能であり、標準的ルジャンドル＝フェンヒェル変換を超える拡張が可能となる。
• 方程式系 (22)–(24) は元のラグランジュ方程式と同等であり、物理的整合性が保証される。
• 退化運動量 $ \bar{p}_\alpha $ は、速度に解釈できない上に動的意味を持たないため、位相空間から除外される。
• 方程式 (30) で定義される新しい括弧 $ \{X,Y\}_F $ は時間発展を支配し、反交換性もヤコビ恒等式も満たさないため、標準的量子化は不可能である。
• 場強度行列 $ F_{\alpha\beta} $ がランク $ n-r $ を満たす場合、速度 $ v^\alpha $ を代数的に解くことができ、ハミルトニアン形式が得られる。
• 非動的運動量を含めないことで、ディラック法における制約解析を完全に回避する。