[論文レビュー] A New Highly Parallel Non-Hermitian Eigensolver

Ping Tak Peter Tang, James Kestyn+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、複素平面内の閉曲線に沿ったコーシー積分による新規な有理近似を用いて、非エルミート一般固有値問題へとヒルベルト型FEASTアルゴリズムを一般化した、高並列性を有する非エルミート固有値 solver Non-Hermitian FEAST を提案する。この手法は、数値積分に基づくスペクトル射影子によって加速される部分空間反復を採用しており、右固有空間および左固有空間の両方において、マルチレベル並列性と強固な収束性を実現する。大規模アーキテクチャ上でも高い性能が実証されている。

ABSTRACT

Calculating portions of eigenvalues and eigenvectors of matrices or matrix pencils has many applications. An approach to this calculation for Hermitian problems based on a density matrix has been proposed in 2009 and a software package called FEAST has been developed. The density-matrix approach allows FEAST's implementation to exploit a key strength of modern computer architectures, namely, multiple levels of parallelism. Consequently, the software package has been well received and subsequently commercialized. A detailed theoretical analysis of Hermitian FEAST has also been established very recently. This paper generalizes the FEAST algorithm and theory, for the first time, to tackle non-Hermitian problems. Fundamentally, the new algorithm is basic subspace iteration or Bauer bi-iteration, except applied with a novel accelerator based on Cauchy integrals. The resulting algorithm retains the multi-level parallelism of Hermitian FEAST, making it a valuable new tool for large-scale computational science and engineering problems on leading-edge computing platforms.

研究の動機と目的

• 元来エルミート問題を想定して設計されたFEAST固有値ソルバを、非エルミート一般固有値問題へと拡張すること。
• マルチレベル並列性を保持する理論的裏付けのある、並列可能であるアルゴリズムを構築すること。
• 特定の固有値集合にのみ関心を持つ大規模な科学的・工学的応用において、選択的固有ペアの効率的計算を可能にすること。
• 非エルミート設定における、数値積分に基づく近似スペクトル射影子を用いた部分空間反復の収束理論を確立すること。
• 現代のハイパフォーマンスコンピューティングプラットフォーム、特にマルチノード・マルチコアシステム上での高い性能と強いスケーリングを実証すること。

提案手法

• 複素平面内の閉曲線に沿って、目的固有値を囲む領域で、スペクトル射影子の有理近似を数値積分により行う。
• コーシー積分に基づく新規な加速器を用いた部分空間反復を採用し、正確なスペクトル射影子の代わりに数値積分近似を用いる。
• 右固有空間および左固有空間を別々または同時に処理できる、片側（R-FEAST）および両側（Bi-FEAST）のアプローチをサポートする。
• 各積分ノードで複数の右辺を有する線形方程式系 $\phi_k B - A$ を同時に解き、ノード、コア、右辺の各レベルで大規模な並列性を実現する。
• 収束した固有ペアを正確に抽出するために、生成された部分空間に対してレイリー・リッツ法を適用する。
• 反復の過程で部分空間次元と線形系のサイズが常に一定を保つように設計されており、これにより性能の予測可能性とスケーラビリティが確保される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチレベル並列性と収束性を保持しつつ、元来エルミート問題を対象としていたFEASTアルゴリズムを非エルミート一般固有値問題へと一般化できるか？
• RQ2 非エルミート設定下において、数値積分によるスペクトル射影子の近似が収束性および固有ベクトルの精度に与える影響は何か？
• RQ3 非エルミート設定下で、片側（R-FEAST）と両側（Bi-FEAST）の定式化の相対的な性能と頑健性はどのように異なるか？
• RQ4 大規模HPC環境における複数の計算ノードおよびコアにわたるスケーリング特性は何か？
• RQ5 非エルミート行列に固有ベクトルが不足している場合やジョルダン細胞を含む場合、有理近似（積分による）を用いることの意味は何か？

主な発見

• 24ノード（各ノード16コア）で強いスケーリングを達成し、1ノード時の366秒から24ノード時の24.6秒に解決時間を短縮。通信オーバーヘッドの影響で効率は62％に低下。
• 良好に条件付けられた問題では、Bi-FEASTがR-FEASTよりも速く固有値に収束するが、R-FEASTも同様に小さな残差を素早く達成する。
• 反復の全過程で部分空間次元と線形系サイズが一定を保つため、性能の予測可能性とスケーラビリティが確保される。
• 数値積分近似は射影子の固有値を摂動させるが、固有ベクトルには影響を与えず、標準的な部分空間反復と同様の収束行動を維持する。
• Bi-FEASTでは、右固有空間および左固有空間を同時に正しく計算でき、レイリー・リッツ法により的確にターゲット固有ペアが抽出された。
• アーノルドイ法やランコス法のようなKrylov部分空間法とは根本的に異なり、高階の行列モーメントではなく、ゼロ次モーメントのスペクトル射影子を用いる点が特徴である。