[論文レビュー] A New Kalman Filter Model for Nonlinear Systems Based on Ellipsoidal Bounding

Ligang Sun, Hamza Alkhatib+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形システムに対してランダムな不確実性と未知だが有界（UBB）な不確実性を楕円体の境界を用いて同時に扱う、新しい集合メンバーシップカルマンフィルタ（SKF）を提案する。各ステップで状態推定楕円体の形状行列のトレースを最小化する最適化問題を解くことで、特に高い角速度不確実性下でも拡張カルマンフィルタ（EKF）よりも信頼性が高く、ロバストな状態推定が得られる。トレース最小化により、楕円体の体積と形状のバランスを保ち、極端な扁平化や延長を回避する。実際の軌道推定ベンチマークでその有効性が実証された。

ABSTRACT

In this paper, a new filter model called set-membership Kalman filter for nonlinear state estimation problems was designed, where both random and unknown but bounded uncertainties were considered simultaneously in the discrete-time system. The main loop of this algorithm includes one prediction step and one correction step with measurement information, and the key part in each loop is to solve an optimization problem. The solution of the optimization problem produces the optimal estimation for the state, which is bounded by ellipsoids. The new filter was applied on a highly nonlinear benchmark example and a two-dimensional simulated trajectory estimation problem, in which the new filter behaved better compared with extended Kalman filter results. Sensitivity of the algorithm was discussed in the end.

研究の動機と目的

• ランダムノイズと未知だが有界（UBB）な不確実性を両方取り入れた非線形システムのための、信頼性の高い状態推定フレームワークの構築を目的とする。
• 特にモデルの非線形性やノイズ仮定の不正確さに対して感受性が高く、限界を示す拡張カルマンフィルタ（EKF）の欠点を改善することを目的とする。
• カルマンフィルタの再帰的構造を集合メンバーシップ手法と統合し、計算効率を保ちながら不確実性の表現を強化することを目的とする。
• 状態が楕円体に含まれることを保証する、より保守的で現実的な不確実性の境界を反映した、信頼性の高い推定フレームワークを提供することを目的とする。
• 特に角速度誤差が距離誤差を上回るような状況で、現実的な不確実性条件下での本フィルタの性能を評価することを目的とする。

提案手法

• 本手法は予測と補正の2段階からなる再帰的フレームワークを採用し、両ステップで非線形最適化問題を解く。
• 各ステップで、状態推定は中心ベクトルと正定値形状行列によって定義される楕円体として表現され、形状行列のトレースを最小化することで導出される。
• 予測ステップでは、プロセス不確実性が楕円体で有界であることを考慮して、状態楕円体を非線形システムのダイナミクスに沿って伝搬する。
• 補正ステップでは、測定データを組み込むために、更新された形状行列のトレースを最小化する最適化問題を解き、よりきつい、より正確な楕円体境界を導出する。
• 楕円体不確実性のミンコフスキー和は、凸最適化問題を解くことで近似され、凸性と有界性を維持する。
• 楕円体の体積と形状のバランスを保つために、トレース最小化基準が用いられ、極端な扁平化や延長を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形システムにおいて、ランダム不確実性と未知だが有界（UBB）な不確実性を同時に扱えるようにカルマンフィルタをどのように適合させることができるか？
• RQ2 非線形システムにおける状態推定の性能に、角速度不確実性と距離不確実性のどちらがより大きな影響を及ぼすか？
• RQ3 集合メンバーシップカルマンフィルタは、有界な不確実性下で拡張カルマンフィルタ（EKF）よりも推定の信頼性において優れていると言えるか？
• RQ4 最適化基準の選択（例：トレース、行列式、最大固有値）が、推定された状態楕円体の形状とサイズに与える影響は何か？
• RQ5 フィルタの結果は、集合メンバーシップ不確実性の初期境界にどの程度敏感か？

主な発見

• 提案された集合メンバーシップカルマンフィルタ（SKF）は、有界な不確実性を伴う高次元非線形システムにおいて、拡張カルマンフィルタ（EKF）よりも信頼性が高く、ロバストな状態推定を実現した。
• 2次元の軌道推定問題において、SKFはEKFを著しく上回った。特に角速度不確実性が支配的であった場合に顕著で、例として85 mの距離で1°の角度誤差が1.48 mの位置不確実性を引き起こした。
• フィルタの性能は、集合メンバーシップ不確実性の初期境界に極めて敏感である。初期境界が大きすぎる場合、正しい測定データであっても出力楕円体が現実的でないほど巨大化した。
• 最適化問題におけるトレース最小化基準により、極端な扁平化を回避する良好に条件付けられた楕円体が得られた。これは、行列式最小化と比較して顕著な利点であった。
• 初期不確実性境界を小さくした場合（例：距離0.01 m、角度1°）、SKFは現実的でタイトな楕円体推定を生成し、実用的応用の可能性を示した。
• アルゴリズムの安定性と収束性についてはさらなる分析が必要である。なぜなら、状態推定は本質的に不適切に定義された逆問題であるからである。