[論文レビュー] A new Laplace operator in Finsler geometry and periodic orbits of Anosov flows

Thomas Barthelmé|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 58被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リーマン幾何におけるラプラシアン＝ベルトラミー作用素を一般化する、線形的で、楕円型で、対称的かつ2階の、Finsler幾何における新しい力学的ラプラシアン作用素を導入する。スペクトル的性質を確立し、歪んだ$$\mathbb{R}$-被覆アノソフ流れにおける周期的軌道の研究にこの作用素を適用し、第一固有値に対する動的評価と調和測度の存在を証明する。

ABSTRACT

In the first part of this dissertation, we give a new definition of a Laplace operator for Finsler metric as an average, with regard to an angle measure, of the second directional derivatives. This operator is elliptic, symmetric with respect to the Holmes-Thompson volume, and coincides with the usual Laplace--Beltrami operator when the Finsler metric is Riemannian. We compute explicit spectral data for some Katok-Ziller metrics. When the Finsler metric is negatively curved, we show, thanks to a result of Ancona that the Martin boundary is Hölder-homeomorphic to the visual boundary. This allow us to deduce the existence of harmonic measures and some ergodic preoperties. In the second part of this dissertation, we study Anosov flows in 3-manifolds, with leaf-spaces homeomorphic to $\mathbb{R}$. When the manifold is hyperbolic, Thurston showed that the (un)stable foliations induces a regulating flow. We use this second flow to study isotopy class of periodic orbits of the Anosov flow and existence of embedded cylinders.

研究の動機と目的

• Finsler幾何における自然で幾何的に動機づけられたラプラシアン作用素を構築し、リーマン幾何におけるラプラシアン＝ベルトラミー作用素を一般化すること。
• 新規Finslerラプラシアンのスペクトル理論を確立し、エネルギー積分、レイリー商、スペクトルの特徴付けを含むこと。
• Finsler計量の共形変換におけるこの作用素の振る舞いを分析すること。
• 3次元多様体における歪んだ$$\mathbb{R}$-被覆アノソフ流れの周期的軌道を、力学的および幾何的手段を用いて研究すること。
• 負曲率多様体上のFinslerラプラシアンの第一固有値に対する動的上界と位相的下界を証明すること。

提案手法

• 測地線流れの力学的形式、カルタンの構造方程式、余接 bundle 上のラプラス変換を用いてFinslerラプラシアンを定義する。
• Finsler計量およびそのヘッセ形式を用いて、2階、線形、対称的、楕円型微分作用素として作用素を構成する。
• ラプラシアンの基準測度としてホイットニー＝トムソン体積形式$$\Omega^{F}\u0024$を用い、ランダース計量におけるその記号を導出する。
• 無限大作用素のスペクトルおよびフレドリッヒ拡張を分析するため、$H^{1}$空間とレイリー商を用いたスペクトル理論を適用する。
• 測地線流れの位相的エントロピーと多様体の位相的不変量を用いて、第一固有値の評価を確立する。
• ポテンシャル理論、マーティン境界、およびアノソフ流れの力学を用いて、Finslerラプラシアンの調和測度の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler幾何において、自然で幾何的に整合性のあるラプラシアン作用素を定義する方法は何か？ これはリーマン的状況ではリーマンのラプラシアン＝ベルトラミー作用素に還元されるべきである。
• RQ2 新規Finslerラプラシアンのスペクトル的性質、特に第一固有値は何か？ そしてそれは多様体の幾何学的・力学的性質とどのように関係するか？
• RQ3 Finsler計量の共形変換において、Finslerラプラシアンはどのように振る舞うか？
• RQ4 Finsler幾何の文脈において、アノソフ流れの力学と周期的軌道の関係は何か？
• RQ5 負曲率Finsler多様体上でのFinslerラプラシアンに対して、調和測度は存在するか？ また、それらはどのような力学的性質を持つのか？

主な発見

• 提案されたFinslerラプラシアンは、線形的で、楕円型で、対称的かつ2階の微分作用素であり、リーマンのラプラシアン＝ベルトラミー作用素を一般化する。
• 作用素はその記号とエネルギー積分により特徴付けられ、$H^{1}$空間においてスペクトルが適切に定義され、フレドリッヒ拡張を有する。
• ランダース計量では、Finslerラプラシアンの記号が明示的に計算可能であり、これにより曲面におけるスペクトル解析が可能になる。
• KZ計量を備えた2次元球面およびトーラスにおいて、固有値と固有関数を含むスペクトルデータが計算される。
• 測地線流れの位相的エントロピーを用いて、第一固有値に対する動的上界が導出される。
• 歪んだ$$\mathbb{R}$-被覆アノソフ流れにおける周期的軌道の共シリンダ類を用いて、位相的下界が確立される。
• Finslerラプラシアンに対して調和測度が存在し、それらがエルゴード的であることが示され、スペクトル理論とアノソフ力学が結びつけられる。