[論文レビュー] A new length scale for quantum gravity

Tejinder P. Singh|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Relativity and Gravitational Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンプトン波長とシュバルツシルト半径を統合する新しい普遍的長さスケール、コンプトン＝シュバルツシルト長さ $L_{CS}$ を提案する。このスケールは、すべての質量に対してプランク長さを超えるように保証され、統一作用原理において基本的な長さとして機能する。この理論により、ブラックホール蒸発がプランク質量で終了することで情報パラドックスが解消され、プランク質量の残渣が暗黒物質候補として予測され、複素ねじれ場を介してディラック方程式とアインシュタイン方程式の双対性が確立される。

ABSTRACT

We show why and how Compton wavelength and Schwarzschild radius should be combined into one single new length scale, which we call the Compton-Schwarzschild length. Doing so offers a resolution of the black hole information loss paradox, and suggests Planck mass remnant black holes as candidates for dark matter. It also compels us to introduce torsion, and identify the Dirac field with a complex torsion field. Dirac equation, and Einstein equations, are shown to be mutually dual limiting cases of an underlying gravitation theory which involves the Compton-Schwarzschild length scale, and includes a complex torsion field.

研究の動機と目的

• 量子的および重力的領域におけるプランク長さ未満のスケールを防ぐ普遍的長さスケールを導入することで、ブラックホール情報消失パラドックスを解消すること。
• 低質量でディラック方程式に還元され、高質量でアインシュタイン方程式に還元される単一の作用原理を構築することで、量子力学と一般相対性理論を統合すること。
• 共通の長さスケール $L_{CS}$ と統一された場の理論的枠組みを通じて、基本粒子とブラックホールの双対性を説明すること。
• ニューマン＝ペンローズ形式に裏付けられた、非ゼロのねじれを持つ時空における複素ねじれとディラック場の同一視により、ディラック場に幾何的基礎を与えること。
• $L_{CS} = 2L_{Pl}$ が $m = m_{Pl}/2$ で最小値をとることを示し、ブラックホール蒸発がプランク質量で停止し、情報消失を回避することを示すこと。

提案手法

• $L_{CS}/2L_{Pl} = \cosh(z)$ と定義し、$z = \ln(2m/m_{Pl})$ とすることで、すべての $m$ に対して $L_{CS} \geq 2L_{Pl}$ が保証される。
• 式 (6) に示される統一作用原理 $S$ を構築し、アインシュタイン＝ヒルベルト項、ディラック項、および $L_{CS}$ を含む結合項を統合する。$L_{CS}$ は動的結合スケールとして機能する。
• ニューマン＝ペンローズ形式を用いてリーマンテンソルをリッチの回転係数で表現し、重力場とスピンルス場の幾何的統合を可能にする。
• リッチの回転係数の複素ねじれ成分とディラック場を同一視することで、場の運動方程式における制約が解消され、自然にねじれが導入される。
• $m \ll m_{Pl}$ のとき作用原理の変分により一般化されたアインシュタイン方程式が得られ、$m \gg m_{Pl}$ のときスピンルス場の変分により修正されたディラック方程式が得られることを示す。
• $L_{CS}$ が任意の値をとるとき、$m_q m_c = m_{Pl}^2/4$ を満たす二つの質量 $m_q$ と $m_c$ が存在し、量子的および重力的領域の双対性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして単一の長さスケールがコンプトン波長とシュバルツシルト半径を統合し、すべての質量に対してプランク長さを超えるように保証できるか？
• RQ2 ブラックホール情報消失パラドックスは、ホーキング蒸発がプランク質量で停止する最小長さスケールを強制することで解消可能か？
• RQ3 統一作用原理を通じてディラック方程式とアインシュタイン方程式を統合する際に、ねじれの幾何的および動的役割は何か？
• RQ4 共通の作用原理に $L_{CS}$ を含めることで、基本粒子とブラックホールの双対性はどのようにして生じるか？
• RQ5 量子重力的双対性の文脈において、$z \leftrightarrow -z$ の反射対称性の物理的意味は何か？

主な発見

• コンプトン＝シュバルツシルト長さ $L_{CS}$ は、$m = m_{Pl}/2$ で最小値 $2L_{Pl}$ を取り、物理的長さスケールがプランク長さ未満に下がることを完全に回避する。
• $m \ll m_{Pl}$ のとき $L_{CS} \to \lambda_C$ であり、$m \gg m_{Pl}$ のとき $L_{CS} \to R_S$ であるため、新しいスケールが量子的および重力的領域の間を適切に補間することが確認された。
• 作用原理 (6) は重力と量子論を統合する：計量に関する変分により一般化アインシュタイン方程式が得られ、スピンルス場に関する変分により修正されたディラック方程式が得られる。
• ディラック方程式とアインシュタイン方程式の双対性は、リッチの回転係数の複素ねじれ成分とディラック場を同一視することで実現され、制約が解消され理論が安定化される。
• $L_{CS}$ の存在により、ブラックホール蒸発は $m = m_{Pl}/2$ で停止し、残渣が初期のすべての情報を保持するため、情報消失パラドックスが解消される。
• プランク質量の残渣（$m = m_{Pl}/2$ で）は安定で長寿命な対象として予測され、宇宙論的観測と整合する暗黒物質候補として実現可能である。