[論文レビュー] A new light on the breaking of uniaxial symmetry in nematics

Xavier Lamy|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意のフレーム不変なバルクエネルギーを用いたランダウ＝デギーン理論を用いて、一次元または二次元では、配向子場が一様でない限り、ネマチック液体結晶における一軸対称性は平衡状態で維持できないことを証明している。翻訳不変性を持つ系（例えばハイブリッドセルや径方向ア一ンキングを有するキャピラリーなど）では、エネルギー最小化ではなく平衡制約そのものによって、すべての場所で二軸性が生じる。これはすべてのパラメータ値や準安定状態に対して成り立つ。

ABSTRACT

Within the Landau-de Gennes theory of liquid crystals, we study theoretically the equilibrium configurations with uniaxial symmetry. For an arbitrary form of the bulk energy density, we show that energy minimizers among uniaxially symmetric configurations are usually not equilibrium configurations. It was known before that uniaxiality can sometimes be broken by energy minimizers. We prove here that this is always the case in one or two dimensions. Even more we prove that equilibrium configurations (not only minimizers) cannot be uniaxial in one or two dimensions (unless they are constant). Namely, uniaxial equilibrium configurations with at least one translational invariance direction must have a uniform director field. In the case of a hybrid nematic cell, or of a capillary with radial anchoring, our result implies that biaxial escape always occurs, and that it does so not only in the core of a defect: uniaxial order is destroyed in the whole cell.

研究の動機と目的

• 一般条件下でのネマチック液体結晶の平衡状態において、一軸対称性が維持可能かどうかを調査すること。
• ネマチック系における一軸秩序に対して、対称的臨界の原理が成立するかどうかを特定すること。
• 翻訳不変性が、特に低次元系において一軸対称性の破れに果たす役割を分析すること。
• 二軸性の逸脱が欠陥コアに限定されず、翻訳不変幾何系全体に広がることを確立すること。
• 二軸性が自由エネルギー最小化や特定のパラメータ領域に依存せず、平衡方程式そのものから生じることを示すこと。

提案手法

• 任意のフレーム不変なバルクエネルギー密度 $\varphi(\mathrm{tr}(Q^2), \mathrm{tr}(Q^3))$ を用いて、ランダウ＝デギーン自由エネルギーを定式化する。
• 自由エネルギーの第一変分から平衡方程式を導出し、テンソル型の偏微分方程式 $L\Delta Q = 2\partial_1\varphi\, Q + 3\partial_2\varphi\left(Q^2 - \frac{|Q|^2}{3}I\right)$ を得る。
• 一軸配置を仮定して $Q = s(n \otimes n - \frac{1}{3}I)$ とし、$s$ と $n$ に関する平衡条件を導出する。
• 空間的一方向または二方向における翻訳不変性の条件を適用し、問題を簡略化し、$\nabla n$ に関する幾何的制約を導出する。
• 微分幾何学（ガウスの定理・エグレジウム）を用いて、$|\nabla n|^2$ が一定で非一様な $n$ が球面上に存在できないことを示し、$n$ が一様でない限り矛盾が生じることを示す。
• Q-テンソルの解析的性質を活用し、一軸領域は全領域または無視できる領域に限られ、$n$ が一様でない限り真の開部分集合にはなり得ないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一次元または二次元において、配向子が一様でない場合に、一軸平衡配置が存在可能か？
• RQ2 ネマチック液体結晶における一軸対称性に対して、対称的臨界の原理が成立するか？
• RQ3 二軸性は欠陥コアに限定されるのか、それとも翻訳不変系全体に広がるのか？
• RQ4 二軸性の出現が、温度や系のサイズといった特定のパラメータ値に依存するのか？
• RQ5 二軸性が自由エネルギー最小化や特定のバルクエネルギー形に依存せず、平衡方程式そのものから導けるか？

主な発見

• 一次元または二次元では、配向子場の幾何的制約により、非一様な一軸平衡配置は不可能である。
• 翻訳不変性を有する一軸平衡配置では、配向子が一様でなければ、『定理・エグレジウム』に違反する。
• 二軸性は欠陥コアに限定されず、ハイブリッドセルや径方向ア一ンキングを有するキャピラリーなどの幾何系全体に広がる。
• フレーム不変なバルクエネルギー密度であれば、標準的な四項展開を超える任意の形態に対しても成り立つ。
• 自由エネルギー最小化に限らず、すべての平衡状態（準安定状態を含む）に適用可能である。
• 非一様配置における一軸対称性の欠如は、自由エネルギーの比較によるものではなく、平衡方程式そのものの直接的結果である。