[論文レビュー] A new look at the John-Nirenberg and John-Stromberg theorems for BMO. Lecture Notes

Michael Ćwikel, Yoram Sagher+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、BMO関数のJohn-NirenbergおよびJohn-Strömbergの定理に対する幾何的アプローチを提示し、立方体の可測部分集合を含む予想的な幾何的条件を導入する。この条件に肯定的な回答が得られれば、明示的で幾何的に解釈可能な定数を伴う次元に依存しないJohn-Nirenberg不等式が得られる。

ABSTRACT

We develop some techniques for studying various versions of the function space BMO. Special cases of one of our results give alternative proofs of the celebrated John- Nirenberg inequality and of related inequalities due to John and to Wik. Our approach enables us to pose a simply formulated "geometric" question, for which an affirmative answer would lead to a version of the John-Nirenberg inequality with dimension free constants. A more detailed summary of the main ideas and results of this paper can be found at http://www.math.technion.ac.il/~mcwikel/bmo/CwikSaghShvaSummary.pdf

研究の動機と目的

• BMO関数に対する新しい幾何的視点を用いて、John-Nirenberg不等式を再導出すること。
• John-Nirenberg不等式の定数が次元に依存しない形にできるかどうかを調査すること。
• 次元に依存しないBMOバインディングを示すために、幾何的条件（質問A）を定式化すること。
• 可測集合の幾何的性質とBMO空間における解析的ノルムとの間の明確な関係を確立すること。
• 特殊な場合（例えば、dyadic立方体）における質問Aの解答が、一般解を導くのに十分であることを示すこと。

提案手法

• 立方体 $Q$ の2つの互いに素な可測部分集合 $E_+$ と $E_-$ を含む幾何的条件（質問A）を導入し、それらの相対的測度に正の下界が存在し、両方と交わる正の測度を持つ部分立方体 $W$ が存在することを要請する。
• 関数 $\mathbf{J}(f,Q,s)$ を定義し、$f$ の $Q$ 上での振動の分布を測定する。これは、$f^*$ の減少順序付け関数と関連付ける。
• スケーリングおよび平行移動不変性を用いて、幾何的条件がアフィン変換のもとで保存されることを示し、標準立方体への還元を可能にする。
• 減少順序付け関数 $f^*$ を用いて、$f$ と $f^*$ の $BMO$ ノルムの等価性を確立し、幾何的条件と解析的条件の間の関係を明確にする。
• $s \mapsto \mathbf{J}(f,Q,s)$ の左連続性および単調性を証明し、振動の分布を分析する上で重要な性質を明らかにする。
• 一般問題をdyadic部分立方体に還元し、dyadicの場合に解が得られれば、一般の場合にも解が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測部分集合の純粋幾何的条件を用いて、John-Nirenberg不等式を証明できるか。
• RQ2 次元 $d$ に依存しない普遍的な定数のペア $\tau \in (0,1/2)$ と $s > 0$ が、質問Aの幾何的条件を満たすか。
• RQ3 このような定数の存在が、次元に依存しないJohn-Nirenberg不等式を示すか。
• RQ4 幾何的条件と解析的 $BMO$-ノルム条件との間の同値性を完全に特徴づけられるか。
• RQ5 dyadic部分立方体における質問Aの検証が、一般の場合の成立を示すのに十分か。

主な発見

• 質問Aに肯定的な回答が得られれば、$\tau$ と $s$ に依存する明示的な定数を伴う次元に依存しないJohn-Nirenberg不等式が得られる。
• 各固定された次元 $d$ に対して、定数 $\tau \in (0,1/2)$ と $s > 0$ が存在し、幾何的条件を満たすが、$s$ は $d$ に依存する。
• ここで $\tau = \sqrt{2} - 1$ とすると、利用可能な最良の $s = 2^{-d}(3 - 2\sqrt{2})$ であっても still $d$ に依存するため、現状の制限が示される。
• 幾何的条件は、$f$ とその減少順序付け関数 $f^*$ の $BMO$ ノルムの比較に等価であり、定理8.3および8.5で形式化されている。
• $s \mapsto \mathbf{J}(f,Q,s)$ は非増加かつ左連続であり、解析において重要な技術的性質である。
• 問題はdyadicの場合に還元可能である：もし質問Aが有限個のdyadic立方体の和について成り立てば、一般に成り立つ。