[論文レビュー] A new numerical approach to Anderson (de)localization

Constanze Liaw|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ランク1の摂動理論と特異スペクトル測度におけるベクトルの巡回性に基づき、不規則な量子系におけるアインシュタイン（局在化の逆）現象を研究するための新しい数値的手法を提案する。この手法により、小さな不規則性を有する2次元離散的ランダムシュレーディンガー作用素が正の確率で動的局在化を示す強力な数値的証拠が得られ、普遍的局在化の広く信じられている考えに挑戦するものである。

ABSTRACT

We develop a new approach for the Anderson localization problem. The implementation of this method yields strong numerical evidence leading to a (surprising to many) conjecture: The two dimensional discrete random Schroedinger operator with small disorder allows states that are dynamically delocalized with positive probability. This approach is based on a recent result by Abakumov-Liaw-Poltoratski which is rooted in the study of spectral behavior under rank-one perturbations, and states that every non-zero vector is almost surely cyclic for the singular part of the operator. The numerical work presented is rather simplistic compared to other numerical approaches in the field. Further, this method eliminates effects due to boundary conditions. While we carried out the numerical experiment almost exclusively in the case of the two dimensional discrete random Schroedinger operator, we include the setup for the general class of Anderson models called Anderson-type Hamiltonians. We track the location of the energy when a wave packet initially located at the origin is evolved according to the discrete random Schroedinger operator. This method does not provide new insight on the energy regimes for which diffusion occurs.

研究の動機と目的

• 不規則な量子系におけるアインシュタイン局在化と局在化の解消を研究するための新しい数値的アプローチを開発すること。
• 小さな不規則性を有する2次元離散的ランダムシュレーディンガー作用素が完全な局在化を示さないという予想を検証すること。
• 従来の局在化研究における境界条件に起因するアーチファクトを排除すること。
• ランク1の摂動におけるスペクトルの巡回性に基づく、数値的に実行可能な手法を提供すること。
• 低不規則性2次元系における波パッケージの動的挙動を調査すること。

提案手法

• 最近得られた理論的結果である、すべての非ゼロベクトルがアインシュタイン型ハミルトニアンの特異スペクトル部においてほとんど確実に巡回的であるという事実を活用する。
• 初期状態が原点に局在化した1つの波パッケージを、離散的ランダムシュレーディンガー作用素の繰り返し適用によって時間発展させる。
• 発展させた波パッケージのエネルギー分布を、原点を中心とする「ダイヤモンド型」領域におけるユークリッドノルムの計算により分析する。この領域は固定されたマンハッタン距離に対応する。
• 有限体積近似に依存しないで、スペクトル的性質に依存することで境界効果を回避する。
• 2次元における離散的ランダムシュレーディンガー作用素を用いた数値実験を、[-c,c] 上で独立同分布の一様不規則性を仮定して実施する。
• このアプローチは他のアインシュタイン型ハミルトニアンへも一般化可能であり、d=2の場合にO(n²)の効率的なメモリ使用量を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな不規則性を有する2次元離散的ランダムシュレーディンガー作用素は、従来の局在化の信念に反して、動的局在化を示すか？
• RQ2 スペクトルの巡回性に基づく数値的手法は、境界条件に起因するアーチファクトなしに局在化していない状態を検出できるか？
• RQ3 低不規則性2次元系における波パッケージのエネルギー分布は、時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ4 観察された局在化の挙動は、複数の実現と不規則性の強度にわたって安定的か？
• RQ5 この手法は、標準格子モデルを超えた他のアインシュタイン型ハミルトニアンへも拡張可能か？

主な発見

• 数値的結果により、小さな不規則性（c ≲ 0.7）の下では、波パッケージのエネルギーが原点から大きく広がっていることが示され、動的局在化が確認された。
• より大きな不規則性（例：c = 5）では、エネルギーは原点付近に局在化したままであり、既知の局在化挙動と整合的である。
• 小さなcでは距離にわたるエネルギー分布が広く凸的であるのに対し、大きなcでは鋭くピークを持つ分布を示す。
• 数値的精度に依存しない結果であり、二重精度計算でも同様の結果が確認された。
• この手法は、最小限の計算コストと境界アーチファクトなしに2次元系における局在化の検出に成功した。
• 標準デスクトップシステムにおいて、計算時間の制限がメモリの制限を上回るため、1つの実現でn=2999の場合に約8.5時間の計算時間を要した。