[論文レビュー] A new old class of maximal monotone operators

M. Marques Alves, B. F. Svaiter|ArXiv.org|May 29, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 24被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、任意の最大単調作用素の Fitzpatrick 関数のうち、1つでもその共役が双対積を上から支配するならば、その作用素のすべての Fitzpatrick 関数が同じ性質を持つことを確立する。主な貢献は、このような作用素が以前シモンズによって定義されたクラス NI に正確に一致することを証明し、先行研究における技術的補助条件が共役支配条件と同値であることを示したことである。

ABSTRACT

In a recent paper in Journal of Convex Analysis the authors studied, in non-reflexive Banach spaces, a class of maximal monotone operators, characterized by the existence of a function in Fitzpatrick's family of the operator which conjugate is above the duality product. This property was used to prove that such operators satisfies a restricted version of Brondsted-Rockafellar property. In this work we will prove that if a single Fitzpatrick function of a maximal monotone operator has a conjugate above the duality product, then all Fitzpatrick function of the operator have a conjugate above the duality product. As a consequence, the family of maximal monotone operators with this property is just the class NI, previously defined and studied by Simons. We will also prove that an auxiliary condition used by the authors to prove the restricted Brondsted-Rockafellar property is equivalent to the assumption of the conjugate of the Fitzpatrick function to majorize the duality product.

研究の動機と目的

• 最大単調作用素における1つの Fitzpatrick 関数の共役が双対積を支配するという性質が、すべての Fitzpatrick 関数に拡張されるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 先行研究における制限付き Brønsted-Rockafellar 性質に関する補助条件と、共役支配条件との関係を明確にすること。
• この共役支配性質を持つ最大単調作用素の族が、シモンズが定義したクラス NI に正確に一致することを示すこと。
• 非反射的バナッハ空間における制限付き Brønsted-Rockafellar 性質に関する先行結果を、補助仮定に依存しない形で統合・強化すること。

提案手法

• Fitzpatrick 関数族 $\mathcal{F}_T$ 及びその共役を用いて、双対積の支配条件を分析する。
• $\mathcal{J}$-変換 $\mathcal{J}h(x,x^*) = h^*(x^*,x)$ を適用し、$\mathcal{F}_T$ の関数間の関係を確立するとともに、性質を保存する。
• $\mathcal{S}_T$-関数を $\mathcal{F}_T$ の上界として定義し、$\mathcal{S}_T^* \geq \pi_*$ が共役支配条件と同値であることを示す。
• 極限による議論とノルム推定を用いて、先行研究における補助条件と共役支配条件との同値性を確立する。
• $\mathcal{S}_T = \operatorname{cl\,conv}(\pi + \delta_T)$ であることに着目し、キーポイントとなる不等式 $\mathcal{S}_T^*(x^*,x^{**}) \geq \langle x^*, x^{**} \rangle$ を導出する。
• $\varepsilon$-ネットとノルム推定を用いた摂動議論により、$g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2$ の下限がゼロであることを証明し、条件の同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの Fitzpatrick 関数の共役が双対積を支配するならば、その作用素のすべての Fitzpatrick 関数が同じ性質を持つのか？
• RQ2 先行研究における制限付き Brønsted-Rockafellar 性質の証明に用いられた補助条件は、双対積を支配する Fitzpatrick 関数の共役と同値か？
• RQ3 共役支配性質を持つ最大単調作用素の族を完全に特徴づけられるか？
• RQ4 この作用素の族は正確にシモンズが定義したクラス NI に一致するか？
• RQ5 非反射的バナッハ空間において、$\mathcal{S}_T$-関数の共役と双対積との関係は何か？

主な発見

• 最大単調作用素の1つの Fitzpatrick 関数の共役が双対積を支配するならば、その作用素のすべての Fitzpatrick 関数が同じ性質を持つ。
• ある Fitzpatrick 関数の共役が双対積を支配する最大単調作用素の族は、シモンズが以前に定義したクラス NI に正確に一致する。
• 先行研究で制限付き Brønsted-Rockafellar 性質を証明するために用いられた補助条件は、Fitzpatrick 関数の共役が双対積を支配する条件と同値である。
• $\mathcal{S}_T^* \geq \pi_*$ が成り立つのは、作用素がタイプ (NI) であるときであり、かつそのときに限る。これは重要な特徴付けを示す。
• 共役支配、$\mathcal{S}_T$-関数、制限付き Brønsted-Rockafellar 性質を含む4つの条件の同値性が、ノルム推定と摂動議論により証明された。
• $X \times X^*$ 上で $g_{(x_0,x_0^*)}(x,x^*) + \frac{1}{2}\|x\|^2 + \frac{1}{2}\|x^*\|^2$ の下限がゼロであることは、条件の同値性を示すために重要なステップである。