[論文レビュー] A New Operator of Primal Topological Spaces

Ahmad Al-Omari, Santanu Acharjee+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2022

Fuzzy and Soft Set Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、位相における原始的構造に基づき、グリルの双対であるとされる新しい作用素Ψ（パイ）を導入する。この作用素の基本的性質を確立し、『原始的に対して適した位相』を定義し、原始的位相τ⁰、閉包作用素、およびΨ作用素の特徴と関係を、特にC(X)−{X}⊆PおよびτがPに対して適しているという条件下で証明する。

ABSTRACT

Recently, Acharjee et al. [S. Acharjee, M. Özkoç and F. Y. Issaka, Primal topological spaces, arXiv:2209.12676[math.GM]] introduced a new structure in topology named primal. Primal is the duel structure of grill. The main purpose of this paper is to introduce an operator using primal and obtain some of its fundamental properties. Also, we define the notion of topology suitable for a primal. We not only obtain some characterizations of this new notion, but also investigate many properties.

研究の動機と目的

• 位相における原始的構造に基づいて導出される新しいΨ作用素の導入とその調査。
• 『原始的に対して適した位相』という概念の定義と分析を行い、その基礎的性質を確立すること。
• 特定の条件下で、原始的位相τ⁰、Ψ作用素、および閉包作用素の相互作用を調査すること。
• 原始的位相空間における開集合および閉集合との関係において、Ψ作用素の特徴を明らかにすること。
• τ⁰がτより細かい位相となる条件、およびτとτ⁰における閉包作用素が一致する条件を確立すること。

提案手法

• 任意の部分集合A ⊆ Xに対して、A⁰(X,τ,P) = {x ∈ X : ∀U ∈ τ(x), (Aᶜ ∪ Uᶜ) ∈ P} としてΨ作用素を定義する。
• 標準的閉包の拡張として、cl⁰(A) = A ∪ A⁰ という閉包作用素を定義する。
• cl⁰(Aᶜ) = Aᶜ となるようなA ⊆ Xの集合として、原始的位相τ⁰ = {A ⊆ X : cl⁰(Aᶜ) = Aᶜ} を構成する。これは元の位相τよりも細かい。
• τ⁰の特徴づけと位相的性質の分析に、基本系Bₚ = {T ∩ P : T ∈ τ, P ∉ P} を用いる。
• τがPと適合する、特にC(X)−{X} ⊆ P という条件下で、『原始的に対して適した位相』の概念を適用する。
• 既存の[1]における原始的構造およびΨ作用素に関する結果を活用し、新しい閉包および包含関係の性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しいΨ作用素は、原始的位相空間における開集合および閉包に関してどのように振る舞うか？
• RQ2 位相τが与えられた原始的Pに対して適しているための必要十分条件は何か？
• RQ3 原始的位相τ⁰が元の位相τと一致する条件は何か？
• RQ4 原始的位相空間において、閉包作用素cl⁰がclと一致する条件は何か？
• RQ5 Ψ作用素の性質は、共通部分や和集合といった集合演算とどのように相互作用するか？

主な発見

• 原始的位相τ⁰は元の位相τよりも細かいので、任意のA ⊆ Xに対してcl⁰(A) ⊆ cl(A) が成り立つ。
• τがPに対して適しており、C(X)−{X} ⊆ P が成り立つならば、任意の開集合U ∈ τに対してU ⊆ U⁰ が成り立ち、結果としてU⁰ = cl(U) = cl⁰(U) となる。
• 任意のτ⁰開集合G = U ∩ A（U ∈ τ、A ∉ P）に対して、cl(G) = cl⁰(G) = G⁰ = U⁰ = cl(U) = cl⁰(U) が成り立つ。
• 任意のA ∈ τおよびB ⊆ Xに対して、(A ∩ B)⁰ = (A ∩ B⁰)⁰ = cl(A ∩ B⁰) が成り立ち、開性とΨ作用素の強い整合性が示される。
• A ∈ τ かつ Aᶜ ∉ P ならば、A⁰ = ∅ であり、これはA ⊆ X \u2215 X⁰ を特徴づける。これは原始的構造の台を特定する。
• A⁰の閉包はcl(A⁰) = A⁰ を満たすので、A⁰は原始的位相τ⁰において閉集合であり、(A⁰)⁰ ⊆ A⁰ が成り立つ。これはイデムポテンの性質に類似した振る舞いを示す。