[論文レビュー] A New Optimal Algorithm for Computing the Visibility Area of a simple Polygon from a Viewpoint

Hamid Hoorfar, Alireza Bagheri|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、内部の視点から単純多角形の可視領域を計算する最適な $O(n)$-時間アルゴリズムを提示する。この手法は、$c$ を臨界頂点の数とするとき、$O(c / \text{log } n)$ 個の変数（$O(c + \text{log } n)$ ビットに相当）のみを用いる。この方法は部分線形ワークスペースモデルに依拠し、可視臨界頂点間のセグメントに分けて多角形の境界を処理し、角度に基づく頂点順序付けと影の計算を用いて効率的に可視領域を計算することで、最小限のメモリ使用量で線形時間の性能を達成する。

ABSTRACT

Given a simple polygon $ \mathcal {P} $ of $ n $ vertices in the Plane. We study the problem of computing the visibility area from a given viewpoint $ q $ inside $ \mathcal {P} $ where only sub-linear variables are allowed for working space. Without any memory-constrained, this problem was previously solved in $ O(n) $-time and $ O(n) $-variables space. In a newer research, the visibility area of a point be computed in $ O(n) $-time, using $ O(\sqrt{n}) $ variables for working space. In this paper, we present an optimal-time algorithm, using $ O(c/\log n) $ variables space for computing visibility area, where $ c

研究の動機と目的

• 計算幾何学における厳密なメモリ制約下での可視領域計算問題に取り組む。
• 可視領域アルゴリズムの空間計算量を低減しつつ、最適な $O(n)$ 時間計算量を維持する。
• 視点からの $O(\text{log } n)$-ビット変数と合計 $O(c/\text{log } n)$ 個の変数を用いるストリーミング的かつ定数メモリモデルのアルゴリズムを設計する。ここで $c$ は臨界頂点の数である。
• 埋め込みシステムや大規模幾何処理のようなメモリ制約環境における可視計算の実用的で効率的な解決策を提供する。

提案手法

• アルゴリズムは、読み取り専用の配列としての多角形境界を処理し、インデックス指定と角度計算に $O(\text{log } n)$-ビット変数を用いる。
• 視点 $q$ から各頂点へのレイヤの角度順序を分析することで、臨界頂点（例えば凹頂点や可視性が変化する点）を特定する。
• 連続する可視臨界頂点のペアごとに、それらの間のチェーンの可視領域を、角度に基づくレイヤシューティングと影の計算を用いて計算する。
• 影の計算により、レイヤ $qp_i$ とチェーンの辺との最近接交差点が特定され、可視領域の境界を正確に構築できる。
• アルゴリズムは多角形境界を反時計回りに走査し、有効な臨界頂点をマークするためのビットフラグを用い、各セグメントを独立に処理する。
• 各チェーンの可視領域は、視点、最近接の影点、およびチェーンに沿った可視頂点を組み合わせることで構築され、反時計回りの出力順序が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部の視点から単純多角形の可視領域を、部分線形ワークスペースのもとで線形時間で計算できるか？
• RQ2 メモリ制約下で $O(n)$ 時間で可視領域を計算するために必要な最小の変数数（またはビット数）は何か？
• RQ3 可視性の挙動が変化する地点（臨界頂点）を効率的に特定し、それらを用いて多角形を分割して段階的な可視計算を実現するにはどうすればよいか？
• RQ4 ストリーミング的かつインプレースなアルゴリズムが、$c$ を臨界頂点の数として $O(c/\text{log } n)$ 個の変数を用いて最適な時間計算量を達成できるか？
• RQ5 $c \ll n$ の場合に、$O(\sqrt{n})$ 個の変数未満の空間計算量に抑えることができるか、特に線形時間性能を維持できるか？

主な発見

• アルゴリズムは、内部の視点から単純多角形の可視領域を計算する際に、最適な $O(n)$ 時間計算量を達成する。
• 空間計算量は $O(c / \text{log } n)$ 個の変数、すなわち $O(c + \text{log } n)$ ビットに低減される。ここで $c$ は臨界頂点の数である。
• アルゴリズムは $O(\text{log } n)$-ビット変数を用いる定数メモリモデルで動作し、外部記憶装置を必要とせず、効率的なインプレース計算を可能にする。
• 可視領域は、連続する可視臨界頂点間のチェーンに多角形を分割し、各チェーンをそのサイズに比例する線形時間で処理することで計算される。
• 角度順序付けと幾何的レイヤシューティングを用いて、影点と可視境界を正しく特定し、反時計回りの出力が保証される。
• 本アルゴリズムは、部分線形空間で最適な時間計算量を達成する最初の手法であり、特に $c \ll n$（例：凹頂点が少ない多角形）の場合に顕著に効果的である。