[論文レビュー] A New Order-theoretic Characterisation of the Polytime Computable Functions

Martin Avanzini, Naohi Eguchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2012

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 19被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、項書き換え系（TRS）を用いて多項式時間計算可能関数を特徴付けるための新しい順序理論的枠組みである小多項式パス順序（sPOP*）を導入する。sPOP*と整合するいかなるTRSに対しても、その実行時間の複雑さがO(nd)で抑えられることを確立しており、ここでdは再帰深さである。また、すべての多項式時間計算可能関数がこの方法で捉えられることを示しており、多項式時間複雑さ解析のための正確で自動的かつ構文的な基準を提供する。

ABSTRACT

We propose a new order, the small polynomial path order (sPOP* for short). The order sPOP* provides a characterisation of the class of polynomial time computable function via term rewrite systems. Any polynomial time computable function gives rise to a rewrite system that is compatible with sPOP*. On the other hand any function defined by a rewrite system compatible with sPOP* is polynomial time computable. Technically sPOP* is a tamed recursive path order with product status. Its distinctive feature is the precise control provided. For any rewrite system that is compatible with sPOP* that makes use of recursion up to depth d, the (innermost) runtime complexity is bounded from above by a polynomial of degree d.

研究の動機と目的

• 項書き換え系を用いて多項式時間計算可能関数を構文的・自動的・正確に特徴付けること。
• 再帰深さを実行時間複雑さの境界に直接結びつけることで、既存の複雑さ解析手法のギャップを埋めること。
• 事前に終了性を仮定せずに、多項式時間複雑さを自動的に証明可能な手法を開発すること。
• 既存のパス順序を拡張し、複雑さの境界をより厳密に制御しながら、決定可能性と効率性を維持すること。
• 暗黙の計算複雑さと自動化された複雑さ解析を、項書き換えにおいて統合すること。

提案手法

• sPOP*を提案する。これは多項式パス順序（POP*）の制限として得られる、積状態を伴う制御された再帰的パス順序である。
• sPOP*と整合する性質に基づき、「次数dの予言的再帰的TRS」と呼ばれる書き換え系のクラスを定義する。
• sPOP*と整合するいかなるTRSに対しても、内向き実行時間複雑さがO(nd)で抑えられることを確立する。ここでdは最大再帰深さである。
• TCT複雑さアナライザーにおいて、sPOP*との整合性を効率的に自動チェックするため、SATソルバー（MiniSAT）を用いる。
• Bwsc+ps記法を用いてパラメータの代入を扱うようにフレームワークを拡張し、多項式時間境界を保持する。
• TPDB 8.03ベンチマークのサブセットに対する実験を通じて、本手法の正確さとスケーラビリティを実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 項書き換え系において、多項式時間計算可能関数を正確に特徴付ける構文的・順序理論的基準を開発できるか？
• RQ2 TRSにおいて再帰深さをどのようにして実行時間複雑さの境界に正式に結びつけることができるか？
• RQ3 LMPO や POP* といった既存のパス順序よりも、sPOP* がよりタイトな複雑さの境界を提供できるか、かつ自動化を維持できるか？
• RQ4 sPOP*と整合するTRSのクラスは、パラメータ代入を伴う安全な再帰に関して閉じているか？
• RQ5 複雑さの正確さを損なわずに、より表現力の高い再帰パターンを扱えるようにフレームワークを拡張できるか？

主な発見

• 小多項式パス順序 sPOP* は、項書き換え系を通じて多項式時間計算可能関数を正確に特徴付ける。
• sPOP* と整合するいかなるTRSに対しても、内向き実行時間複雑さがO(nd)で抑えられ、この境界はタイトである。
• このフレームワークは多項式時間複雑さを自動的に証明する：sPOP*との整合性はSATソルバーを用いて効率的にチェック可能である。
• sPOP* は精度においてLMPOを上回り、POP* と同等またはそれを上回るパワーを持つが、カバー範囲にわずかな損失があるにとどまる。
• パラメータ代入への拡張（sPOP*PS）により、LMPOとの表現力のギャップはほとんど埋まり、広範な応用可能性を示唆している。
• 757個のTRSに対する実験結果では、sPOP*は各次数ごとに43～56のシステムに対してO(nd)の境界を証明でき、高い正確さと低い偽陰性率を達成した。