[論文レビュー] A new parameterisation of Pythagorean triples in terms of odd and even series

Anthony Overmars, Lorenzo Ntogramatzidis|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数および偶数の級数に基づくピタゴラス数の新しいパラメータ化を提案し、整数パラメータ $n$ と $μ$ を用いてすべての原始的ピタゴラス数を生成する。原始的であるための必要十分条件を提示し、すべての要素が偶数である非原始的三つ組を除外する。エウクリッドの公式とは異なった構造的洞察を提供する補完的アプローチである。

ABSTRACT

In this paper we introduce a formula that parameterises the Pythagorean triples as elements of two series. With respect to the standard Euclidean formula, this parameterisation does not generate the Pythagorean triples where the elements of the triple are all divisible by 2. A necessary and sufficient condition is also proposed for a Pythagorean triple obtained from this formula to be primitive.

研究の動機と目的

• 辺の長さにおける構造的パターンに注目し、奇数および偶数の級数に基づくピタゴラス数のパラメータ化を開発すること。
• 系列ベースのインデックス付けを通じて、すべての原始的ピタゴラス数を網羅的かつ体系的に生成する完全な公式を特定すること。
• この系列ベースのパラメータ化によって生成された三つ組が原始的であるための条件を明確にし、エウクリッドの公式とは異なる基準を提示すること。
• このパラメータ化が、すべての辺が偶数である非原始的三つ組を除外することを示すこと。これは、標準的なエウクリッド生成ではカバーされないクラスである。

提案手法

• パラメータ化は二つの整数パラメータ $n$ と $\mu$ を用い、$n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$、$\mu \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ である。三つ組は次式により生成される：$a = \mu(2n + \mu)$、$b = 2n(n + \mu)$、$c = 2n^2 + \mu(2n + \mu)$。
• この方法により $a$ は奇数、$b$ は偶数となるため、$c - b$ は奇数、$c - a$ は偶数となり、奇数・偶数の級数構造と整合する。
• この公式によって生成された三つ組が原始的であるための必要十分条件は、$n$ と $\mu$ が互いに素であることであると証明されている。
• このパラメータ化はすべての原始的三つ組を生成でき、図3に示すように格子構造を形成する。特殊ケースとして、奇数三つ組のピタゴラス族と、偶数三つ組のプラトン族が存在する。
• エウクリッドの公式と対比し、両者とも原始的三つ組を生成するが、本手法ではすべての辺が偶数である非原始的三つ組を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピタゴラス数は、辺の長さの差に基づく奇数および偶数の級数に基づいて体系的にパラメータ化可能か？
• RQ2 この系列ベースのパラメータ化によって生成された三つ組が原始的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 なぜこのパラメータ化は、すべての要素が偶数である非原始的三つ組を生成できないのか（エウクリッドの公式とは対照的に）？
• RQ4 ピタゴラス族（奇数）およびプラトン族（偶数）という特殊な族は、どのようにこのパラメータ化から生じるか？
• RQ5 このパラメータ化と標準的なエウクリッドの公式との間には、三つ組の生成集合に関してどのような構造的関係があるか？

主な発見

• パラメータ化 $\mathfrak{P}(n, \mu)$ は、二つの正の整数 $n$ と $\mu$ を用いて、すべての原始的ピタゴラス数を生成する。$a = \mu(2n + \mu)$、$b = 2n(n + \mu)$、$c = 2n^2 + \mu(2n + \mu)$ である。
• 生成された三つ組が原始的であるための必要十分条件は、$n$ と $\mu$ が互いに素であることである。これは原始的であるための明確な基準を提供する。
• このパラメータ化は、$a$、$b$、$c$ がすべて偶数である非原始的三つ組をすべて除外する。これはエウクリッドの公式で生成可能だが、本手法では生成されないクラスである。
• ピタゴラス族の奇数三つ組 $(2n+1, 2n^2+2n, 2n^2+2n+1)$ は $\mathfrak{P}(1, n)$ として生じ、プラトン族の偶数三つ組 $(4m^2-1, 4m, 4m^2+1)$ は $\mathfrak{P}(m, 1)$ として生じる。
• ピタゴラス族とプラトン族の両方に共通する唯一の三つ組は $(3,4,5)$ であり、これは $\mathfrak{P}(1,1)$ に一致する。
• 図3の格子構造により、生成された三つ組の集合 $\widehat{\mathcal{C}} = \mathcal{E}$ が確認され、このパラメータ化がエウクリッドの三つ組を完全にカバーしていることが示された。