[論文レビュー] A new perspective on the fundamental theorem of asset pricing for large financial markets

Christa Cuchiero, Irene Klein+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、非可算個の資産を有する大規模金融市場において、従来の漸近的アービタージュ概念よりも経済的に直感的な代替案として、漸近的自由なランチが存在しないがリスクが消える（NAFLVR）条件を導入する。Emery位相と一般化された許容戦略を活用することで、NAFLVRが分離測度の存在と同値であることを証明し、大規模市場設定における資産 Pricing の基本定理の強化版を確立する。同時に、このような測度が可算の場合ですらσマーティングレイル測度の存在を保証しないことも示している。

ABSTRACT

In the context of large financial markets we formulate the notion of \\emph{no asymptotic free lunch with vanishing risk} (NAFLVR), under which we can prove a version of the fundamental theorem of asset pricing (FTAP) in markets with an (even uncountably) infinite number of assets, as it is for instance the case in bond markets. We work in the general setting of admissible portfolio wealth processes as laid down by Y. Kabanov \\cite{kab:97} under a substantially relaxed concatenation property and adapt the FTAP proof variant obtained in \\cite{CT:14} for the classical small market situation to large financial markets. In the case of countably many assets, our setting includes the large financial market model considered by M. De Donno et al. \\cite{DGP:05} and its abstract integration theory. The notion of (NAFLVR) turns out to be an economically meaningful "no arbitrage" condition (in particular not involving weak-$*$-closures), and, (NAFLVR) is equivalent to the existence of a separating measure. Furthermore we show -- by means of a counterexample -- that the existence of an equivalent separating measure does not lead to an equivalent $\\sigma$-martingale measure, even in a countable large financial market situation.

研究の動機と目的

• 無限に多くの資産を有する大規模金融市場における経済的に意味のあるアービタージュなし条件の欠如に対処すること。
• 弱-*閉包に基づく抽象的なNAFL条件を、より直感的で経済的に解釈可能な条件であるNAFLVRに置き換えること。これは小さな市場におけるNFLVR条件を模倣する。
• より緩い連結性および許容性の仮定の下で、大規模市場における資産 Pricing の基本定理（FTAP）のバージョンを確立すること。
• 分離測度の存在とσマーティングレイル測度の存在との関係を明確にすること。両者が同値でないことを示す。

提案手法

• 有限（小さな）市場内のポートフォリオの列のEmery位相における極限として、一般化された許容ポートフォリオの純資産プロセスを形式化する。
• NAFLVR条項を、ゼロ価格での有界かつスーパー複製可能なヘッジの集合の閉包が、非負の有界確率変数とゼロ以外で交差しないという要件として定義する。
• Emery位相とポートフォリオ純資産プロセスの緩い連結性性質を用いて、小さな市場における古典的なNFLVRの証明戦略を大規模市場に適応する。
• Kreps-Yan定理の枠組みを大規模市場の文脈に応用し、NAFLVRと等価な分離測度の存在を結びつける。
• 反例を用いて、分離測度の存在が、可算の大規模市場設定ですらσマーティングレイル測度の存在を保証しないことを示す。
• 収束性および安定性の結果を確立するために、(P-UT)性質、前方凸結合、およびスーパーマーティングレイルディフェルタといった技術的道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模金融市場において、NAFLよりも経済的に解釈可能なアービタージュなし条件は存在するか？
• RQ2 非可算個の資産を有する大規模市場において、より弱い仮定の下で古典的FTAPを拡張できるか？
• RQ3 大規模市場における分離測度の存在は、σマーティングレイル測度の存在を意味するか？
• RQ4 Emery位相は、大規模市場における一般化ポートフォリオのモデル化をどのように支援するか？
• RQ5 大規模金融市場の文脈において、NAFLVR、NUPBR、およびNAの正確な関係は何か？

主な発見

• NAFLVRは、大規模金融市場において等価な分離測度の存在と同値であり、資産 Pricing の基本定理の強固な基盤を提供する。
• NAFLVR条項は経済的に意味があり、従来の漸近的アービタージュ条件とは異なり、L∞における弱-*閉包に依存しない。
• NAFLVR条項は、NUPBR（有界リスクでの無限の利益なし）とNA（大規模市場におけるアービタージュなし）の論理的合併と同値であり、小さな市場におけるNFLVR分解を模倣する。
• 反例により、等価な分離測度の存在が、可算の大規模市場設定ですらσマーティングレイル測度の存在を保証しないことが示された。
• NUPBRを満たす半マルチンゲールの列に対して(P-UT)性質が成り立ち、Emery位相下で一様タイト性および収束安定性を保証する。
• NUPBR条件の下で、ポートフォリオ純資産プロセスの集合に対してスーパーマーティングレイルディフェルタが存在し、小さな市場から大規模市場への既知の結果を拡張する。