[論文レビュー] A New Perspective on the Windows Scheduling Problem

Tobias Jacobs, Salvatore Longo|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2014

Real-Time Systems Scheduling参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、正確な周期を持つウィンドウスケジューリング問題を再定式化する新しい組合せ的枠組みとして、部分符号化問題を導入する。これにより、両者の間で多項式時間還元が可能となり、長年の未解決であった複数の複雑性の問題が解消される。主な貢献は、標準の複雑性仮定のもとで、単一マシン上の単位長ジョブでさえも擬似多項式時間でスケジューリングできないことの証明であり、ジョブの移行を許可する複数マシンケースがco-NP困難であることも示され、長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

The Windows Scheduling Problem, also known as the Pinwheel Problem, is to schedule periodic jobs subject to their processing frequency demands. Instances are given as a set of jobs that have to be processed infinitely often such that the time interval between two consecutive executions of the same job j is no longer than the job's given period $p_j$. The key contribution of this work is a new interpretation of the problem variant with exact periods, where the time interval between consecutive executions must be strictly $p_j$. We show that this version is equivalent to a natural combinatorial problem we call Partial Coding. Reductions in both directions can be realized in polynomial time, so that both hardness proofs and algorithms for Partial Coding transfer to Windows Scheduling. Applying this new perspective, we obtain a number of new results regarding the computational complexity of various Windows Scheduling Problem variants. We prove that even the case of one processor and unit-length jobs does not admit a pseudo-polynomial time algorithm unless SAT can be solved by a randomized method in expected quasi-polynomial time. This result also extends to the case of inexact periods, which answers a question that has remained open for more than two decades. Furthermore, we report an error found in a hardness proof previously given for the multi-machine case without machine migration, and we show that this variant reduces to the single-machine case. Finally, we prove that even with unit-length jobs the problem is co-NP-hard when jobs are allowed to migrate between machines.

研究の動機と目的

• 正確な周期を持つウィンドウスケジューリング問題を、新しい組合せ的モデルとされる部分符号化問題によって再定式化すること。
• ウィンドウスケジューリング問題と部分符号化問題の間で、両方向に多項式時間還元を確立すること。
• 単一マシン上の単位長ジョブに関する複雑性の未解決問題と、ジョブ移行を許可する複数マシンケースに関する未解決問題を解消すること。
• ジョブ移行を許可する複数マシンのウィンドウスケジューリング問題が、単位長ジョブであってもco-NP困難であることを示すこと。
• 非移行可能な複数マシンケースについて、以前に発表された誤ったハードネス証明を是正し、それが単一マシンケースに還元されることを示すこと。

提案手法

• 部分符号化問題を、属性の値域を介して記号を符号化する組合せ的抽象化として定義し、同一視可能性が共有される属性値に依存することを明確にする。
• ウィンドウスケジューリングにおけるジョブの開始時刻と、部分符号化における記号符号化の間で一対一対応を構築し、ジョブの衝突が正確に同一視不能な記号ペアに対応するようにする。
• ジョブ周期の相対的素因数分解を用いて、スケジューリングインスタンスを素数値の属性値域を持つ部分符号化インスタンスに変換する。
• $(m+1)$-独立集合問題を$m$-値部分符号化問題に多項式時間変換することで、co-NP困難性を証明する。
• 部分符号化とウィンドウスケジューリングの等価性を活用し、両問題間でハードネス結果とアルゴリズム的知見を相互に移転する。
• 単一マシン上の単位長ジョブのケースが、SATが確率的準多項式時間で解ける場合に限り、擬似多項式時間アルゴリズムを有しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確な周期を持つウィンドウスケジューリング問題は、新たな組合せ的問題として再定式化可能であり、これにより新たな複雑性的・アルゴリズム的知見が得られるか？
• RQ2 標準の複雑性仮定のもとで、単一マシン上の単位長ジョブのウィンドウスケジューリング問題は擬似多項式時間で解けるか？
• RQ3 ジョブ移行を許可する複数マシンのウィンドウスケジューリング問題は、単位長ジョブであってもco-NP困難か？
• RQ4 非移行可能な複数マシンバージョンは単一マシンケースに還元可能であり、かつ以前に主張されたハードネス証明は妥当か？
• RQ5 部分符号化フレームワークを用いて、ウィンドウスケジューリングの特殊ケースに対する新たな近似アルゴリズムや肯定的結果を導出可能か？

主な発見

• 正確な周期を持つウィンドウスケジューリング問題は、両方向に多項式時間還元が可能であるため、部分符号化問題と等価である。
• 単一マシン上の単位長ジョブのウィンドウスケジューリング問題は、SATが確率的準多項式時間で解ける場合に限り、擬似多項式時間アルゴリズムを有しない。
• ジョブ移行を許可する複数マシンのウィンドウスケジューリング問題は、単位長ジョブであってもco-NP困難であることが示され、強い複雑性の障壁が確立される。
• この設定下で、問題はNP困難かつco-NP困難であるため、NPまたはco-NPに属さない（NP = co-NPでない限り）ことを示唆する。
• 非移行可能な複数マシンケースについて、以前に発表されたハードネス証明は誤りであり、そのバージョンは単一マシンケースに還元可能である。
• 部分符号化フレームワークは、近似アルゴリズムや、異なるジョブタイプの数が定数であるインスタンスに対する効率的解法の開発の基盤を提供する。