[論文レビュー] A new polynomially solvable class of quadratic optimization problems with box constraints

Milan Hladík, Michal Černý+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、二次行列のランクが定数で抑えられる場合に、ボックス制約付きの二次最適化問題を多項式時間で解くアルゴリズムを提示する。問題を低次元空間におけるゾノトープの面を列挙する問題に還元することで、従来の結果を正定値性や線形項がゼロであるという制限から一般化し、ランク制約のもとでより広いクラスのNP困難問題を多項式時間で解けるように拡張する。

ABSTRACT

We consider the quadratic optimization problem $\\max_{x \\in C}\\ x^T Q x + q^T x$, where $C\\subseteq\\mathbb{R}^n$ is a box and $r := \\mathrm{rank}(Q)$ is assumed to be $\\mathcal{O}(1)$ (i.e., fixed). We show that this case can be solved in polynomial time for an arbitrary $Q$ and $q$. The idea is based on a reduction of the problem to enumeration of faces of a certain zonotope in dimension $O(r)$. This paper generalizes previous results where $Q$ had been assumed to be positive semidefinite and no linear term was allowed in the objective function. Positive definiteness was a strong restriction and it is now relaxed. Generally, the problem is NP-hard; this paper describes a new polynomially solvable class of instances, larger than those known previously.

研究の動機と目的

• ボックス制約付き二次最適化問題の新たな多項式時間で解けるクラスを特定・解明すること。
• 従来の結果（正定値性と線形項がゼロ）を任意の行列および一般の線形目的関数へ拡張すること。
• 二次行列のランクが定数で抑えられる場合に、依然として多項式時間で動作する手法を開発すること。
• その行動を変更せずに二次形式の表現のランクを最小化するための構成的アプローチを提供すること。
• 正定値行列と線形項を伴うバイナリ二次プログラムを効率的に解けるようにすること。

提案手法

• この手法は、元の問題を、二次行列 Q のランク r に比例する次元の低次元空間への変換に還元する。
• 元のボックス制約集合 C の面に対応する R^{2r} 内のゾノトープを構築する。
• このゾノトープのすべての面を列挙し、各面における目的関数の停留点をチェックする。
• 各面に対して、一次最適性条件から導かれる一次方程式系を解き、候補となる最大化点を特定する。
• 面ラティスを体系的に探索するために、符号ベクトル表現を用いる。
• 各面内で停留点の集合上では目的関数が定数であるという事実を活用し、効率的な評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッシアン行列のランクが制限される場合、行列が不定であってもボックス制約付き二次最適化問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 ボックス制約の面列挙を、多項式時間計算に適した低次元幾何的構造へどのように変換できるか？
• RQ3 与えられた二次形式を表す行列の最小達成可能ランクは何か？ そして、それを効率的に計算する方法は？
• RQ4 提案手法を、全面ラティスを保存する必要を回避するように拡張できるか？
• RQ5 この手法は、正定値行列と線形項を伴うバイナリ二次プログラムにどの程度まで適用可能か？

主な発見

• 行列 Q のランク r が O(1) の場合、Q が不定であっても任意の線形項 q が存在しても、問題は多項式時間で解ける。
• 従来の結果（Q が正定値で q = 0）を一般化し、任意の行列と一般の線形項へ拡張した。
• 与えられた二次形式を表す行列の最小達成可能ランクは、(p, q, s) が形式の符号型であるとき max(p, q) に等しい。
• アルゴリズムは正しく、次元 O(r) のゾノトープの面を列挙することで、グローバル最大値を保証して見つけ出す。
• ランク制約のもとでは多項式時間で動作するが、全面ラティスを保存する必要があるためメモリ消費量が大きい。
• 二次形式のランク最小化変換を明示的に構成可能であり、計算効率が向上する。