[論文レビュー] A new proof for the convergence of Picard's filter using partial Malliavin calculus

Hideyuki Tanaka|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、部分マリヤン・カウルススの技法を用いて、非線形フィルタリングにおけるピカードのフィルタの収束に関する新しい証明を提示する。$ L^p $-収束速度 $ O(1/n) $（$ p > 2 $）を確立し、関数 $ g $ が不規則であっても成立する。標準的な強収束・弱収束の議論を避けるために、ウィーナー空間上のヒルバート空間値関数への双対性と条件付き期待値を活用している。

ABSTRACT

The discrete-time approximation for nonlinear filtering problems is related to both of strong and weak approximations of stochastic differential equations. In this paper, we propose a new method of proof for the convergence of approximate nonlinear filter analyzed by Jean Picard (1984), and show a more general result than the original one. For the proof, we develop an analysis of Hilbert space valued functionals on Wiener space.

研究の動機と目的

• 非線形フィルタリングにおけるピカードの元々の $ L^2 $-収束結果を $ L^p $-ノルム（$ p > 2 $）に一般化し、誤差推定のロバスト性を向上させること。
• 標準的なオイラースキーム誤差解析に依存しないように、関数 $ g $ の滑らかさに関するより弱い正則性仮定のもとで収束を確立すること。
• ウィーナー空間上のヒルバート空間値関数への部分マリヤン・カウルススを用いた、$ \mathcal{F}_T^Y $ における確率積分を含む条件付き期待値を扱うための新たな解析的枠組みを構築すること。
• 条件付き期待値設定における確率積分とスコロホド積分の双対性を分析することで、$ O(1/n) $ 収束速度のメカニズムを明確にすること。
• 今後の研究において、Lévy駆動SDEや非マルコフ的・相関のある信号-観測過程への一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• ウィーナー空間上のヒルバート空間値関数への部分マリヤン・カウルススを用い、特に観測フィルトレーション $ \mathcal{F}_T^Y $ における条件付き期待値を分析する。
• クラーク＝オーカンの公式とスコロホド積分の双対関係を適用し、Radon-Nikodym導関数 $ \Phi_T $ の近似誤差を分解・推定する。
• カリアンプル＝ストリーベルの公式を用いて、条件付き期待値 $ E[g(X_T)\Phi_T|\mathcal{F}_T^Y] $ を表現し、$ \tilde{\Phi}_T $ における近似誤差の分析を可能にする。
• 確率積分の差をスコロホド積分と条件付き期待値を含む反復積分の和として表すことで、誤差項 $ E_1(\rho, Z) $ の重要な恒等式を導出する。
• 補題3.2を用いて、マリヤン微分と条件付き期待値の推定により誤差の $ L^p $-ノルムを制御し、$ O(1/n^p) $ の境界を導く。
• 補題3.9を適用して、マリヤン微分 $ D_r^Y f_s $ を含む項をバウンドし、最終的に $ L^p $ における $ O(1/n) $ 収束速度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピカードのフィルタの $ L^2 $-収束結果を $ p > 2 $ の $ L^p $-ノルムに拡張できるか。その場合に必要な条件は何か？
• RQ2 関数 $ g $ が滑らかでない場合のピカードのフィルタの収束速度は何か。また、オイラースキームの強収束・弱収束に依存せずに、その証明はどのように可能か？
• RQ3 部分マリヤン・カウルススは、非線形フィルタリングにおける確率積分を含む条件付き期待値のより洗練された分析をどのように可能にするか？
• RQ4 確率積分とスコロホド積分の双対性が、$ O(1/n) $ 収束速度の導出において果たす役割は何か？
• RQ5 この証明技法は、ブラウン運動でない、またはLévy駆動SDEに拡張可能か。その一般化にはどのような新しい道具が必要か？

主な発見

• 本稿では、ピカードのフィルタ近似について、$ p > 2 $ に対して新しい $ L^p $-収束速度 $ O(1/n) $ を確立し、ピカードの元々の $ L^2 $-結果を一般化している。
• 関数 $ g $ が不規則（必ずしも滑らかでなくてもよい）であっても、$ h \in C_b^2 $、$ b $、$ \sigma $ がリプシッツ連続で、$ h $ が有界である限り、収束は成立する。
• 誤差推定は、特に確率積分とスコロホド積分表現の双対性を応用した部分マリヤン・カウルススの新規な応用によって得られている。
• 主な技術的ステップは、マリヤン微分と条件付き期待値の推定を用いて誤差項 $ E_1(\rho, Z) $ の $ L^p $-ノルムをバウンドすることであり、次式が得られる： $$ \|E_1(\rho,Z)\|_p^p \leq \frac{C_3}{n^p}\|Z\Gamma_T(\rho)\|_p^p + \frac{C_4}{n^p}E^{\mathcal{W}_Y}\left[\left(\int_0^T \operatorname{ess\,sup}_{0\leq r\leq T}|E^{\mathcal{W}_B}[(D_r^Y f_s)\theta_s]|^2 ds\right)^{p/2}\right] $$
• 証明により、観測過程 $ Y $ の平均化効果が、$ h(X_s) - h(X_{\eta(s)}) $ の $ O(1/n) $ の弱誤差を打ち消す構造に起因し、条件付き期待値の構造のおかげで $ O(1/n) $ の収束速度が得られることを示している。
• この手法は不規則な $ g $ に対してもロバストであり、非退化極限が得られる場合、$ \alpha = 1 $ は達成不可能であるため、現在の枠組み下で $ O(1/n) $ が最良の収束速度であることが示唆されており、結果は最適である。