[論文レビュー] A new proof to the energy conservation for the Navier-Stokes equations

Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、周期的領域における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の弱解に対するエネルギー保存則の新しい証明を提示する。Lionsによる滑らか化発散項の収束に関する補題を活用し、条件 $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} \leq \frac{1}{2}$、$s \geq 4$ の下でエネルギー等式を確立する。従来の結果よりも次元に依存しない形で、滑らか化と関数的推定を用いた洗練された解析的手法により、改善がなされている。

ABSTRACT

In this paper we give a new proof to the energy conservation for the weak solutions of the incompressible Navier-Stokes equations. This result was first proved by Shinbrot. The new proof relies on a lemma introduced by Lions.

研究の動機と目的

• 周期的領域における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の弱解に対するエネルギー保存則の新しい、洗練された証明を提供すること。
• 空間次元 $d$ に依存しない条件 $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} \leq \frac{1}{2}$、$s \geq 4$ の下でエネルギー等式を確立すること。
• 弱形式における非線形対流項 $\text{div}({\bf u} \otimes {\bf u})$ を取り扱うために、Lionsの補題を用いて滑らか化発散項の収束を制御すること。
• 滑らか化と補間推定を用いることで、解析的枠組みを単純化し、Shinbrotの元来の結果を改善すること。
• エネルギー保存基準の適用範囲を、最小限の可積分性仮定のもとで、より広い弱解のクラスにまで拡張すること。

提案手法

• 標準的な $C^\infty_0$ 滑らか化子 $\eta_\varepsilon$ を用いて速度場 $\bf u$ を滑らか化し、$\overline{\bf u} = \bf u * \eta_\varepsilon$ を定義する。
• ナビエ＝ストークス方程式の弱形式を $\overline{\bf u}$ でテストし、$\overline{\bf u}$ 及びその時間微分を含むエネルギー恒等式を得る。
• 非線形項 $\overline{\text{div}({\bf u} \otimes {\bf u})}$ を、特異性を分離するための三つの剰余項 $R_1$、$R_2$、$R_3$ に分解する。
• Lionsの補題を適用し、$\varepsilon \to 0$ のとき $L^{\frac{2p}{p+2}}(0,T; L^{\frac{2q}{q+2}}(\Omega))$ 内で $R_1 = \overline{\text{div}({\bf u} \otimes {\bf u})} - \text{div}({\bf u} \otimes \overline{{\bf u}})$ がゼロに収束することを制御する。
• 補間およびホルダーの不等式を用いて $R_2 = \text{div}({\bf u} \otimes \overline{{\bf u}}) - \text{div}(\overline{{\bf u}} \otimes \overline{{\bf u}})$ を評価し、$p,q \geq 4$ の下で $\varepsilon \to 0$ のとき消えることを示す。
• $\text{div}(\overline{{\bf u}}) = 0$ であるため、$R_3 = \text{div}(\overline{{\bf u}} \otimes \overline{{\bf u}})$ がゼロに積分されることを活用し、極限におけるエネルギー恒等式を単純化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の弱解に対するエネルギー保存則が成立するための最小可積分性条件は何か？
• RQ2 古典的正則性を仮定せず、弱収束と滑らか化技術のみを用いてエネルギー等式を回復することは可能か？
• RQ3 発散項に関するLionsの補題の使用が、エネルギー恒等式における対流非線形性の解析的取り扱いをどのように改善するか？
• RQ4 Serrin型の条件と同様に、次元に依存しないエネルギー保存基準を弱解に対して得ることは可能か？
• RQ5 この証明枠組みは、エーラー方程式や圧縮性ナビエ＝ストークス方程式など、他の方程式に対しても同様のエネルギー保存結果を得るために適応可能か？

主な発見

• 任意の弱解 $\bf u \in L^\infty(0,T; L^2(\Omega)) \cap L^2(0,T; H^1(\Omega))$ で、$\bf u \in L^r(0,T; L^s(\Omega))$ を満たし、$\frac{1}{r} + \frac{1}{s} \leq \frac{1}{2}$ かつ $s \geq 4$ である場合、エネルギー保存則が成立する。
• 証明によりエネルギー等式 $\int_\Omega |{\bf u}(t,x)|^2 dx + 2\mu \int_0^T \int_\Omega |\nabla{\bf u}|^2 dx dt = \int_\Omega |{\bf u}_0|^2 dx$ がすべての $t \in [0,T]$ に対して成立することが示された。
• $\overline{\text{div}({\bf u} \otimes {\bf u})}$ と $\text{div}({\bf u} \otimes \overline{{\bf u}})$ の差から生じる剰余項 $R_1$ は、$\varepsilon \to 0$ のとき $L^{\frac{2p}{p+2}}(0,T; L^{\frac{2q}{q+2}}(\Omega))$ 内でゼロに収束する。
• $\bf u \otimes \overline{{\bf u}}$ と $\overline{{\bf u}} \otimes \overline{{\bf u}}$ の差に関連する項 $R_2$ は、$L^p$-$L^q$ 界と $\bf u - \overline{{\bf u}}$ の収束により、極限で消える。
• $\frac{1}{r} + \frac{1}{s} \leq \frac{1}{2}$ かつ $s \geq 4$ の条件は、次元 $d$ に依存しない形でShinbrotの結果を一般化する点で最適である。
• 古典的正則性や高階可積分性を仮定せず、滑らか化とLionsの補題に依存することで、最小限の仮定のもとでエネルギー等式の直接的証明が可能になった。