[論文レビュー] A new quantitative central limit theorem on the Wiener space with applications to Gaussian processes

Tobias Fissler, Christoph Thaele|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ガウス過程の非線形関数に対するウィエンャー空間上での新しい定量的中心極限定理を確立し、クラウジングノルムを用いて正規性からの距離を評価する。これにより、関数のエルミートランクと「混合ギャップ」の間の新しい関係が明らかになり、モーメントの順序 p に依存しない、分数 Browm運動のべき変動に対する普遍的な収束速度が示された。

ABSTRACT

Quantitative limit theorems for non-linear functionals on the Wiener space are considered. Given the possibly infinite sequence of kernels of the chaos decomposition of such a functional, an estimate for different probability distances between the functional and a Gaussian random variable in terms of contraction norms of these kernels is derived. The applicability of this result is demonstrated by means of the Breuer-Major theorem, unfolding thereby a new connection between the Hermite rank of the considered function and a chaotic gap. Especially, power variations of the fractional Brownian motion and processes belonging to the Cauchy class are studied.

研究の動機と目的

• 無限の混合分解に適用可能な、ウィエンャー空間上での非線形関数に対する定量的中心極限定理の構築。
• 第二階のポアンカレ不等式のような既存の手法が、無限混合設定において最適でない収束速度を与えるという限界を克服すること。
• ウィエンャー混合分解の核のみを用いて、関数とガウス変数の間の確率的距離（例：ウォッシャーマン距離）の解析的評価を提供すること。
• ブレウアー＝マジョールの定理と分数 Browm運動のべき変動を通じて、この手法の適用可能性を示すこと。
• 関数のエルミートランクと収束速度における「混合ギャップ」の間の新しい構造的関係を解明すること。

提案手法

• この手法は、マルリヴィン＝スタイン技法とウィエンャー混合分解を組み合わせ、関数 $ F = \bigoplus_{q=0}^\tau I_q(f_q) $ を多重確率積分の無限和として表現する。
• 核 $ f_q $ の収縮ノルム、特に $ \big\rfloor f_p \tilde{\bigotimes}_r f_q \big\rfloor_{p+q-2r} $ を導入し、$ F $ と標準ガウス変数の間のウォッシャーマン距離を評価する。
• 主要な不等式は、ウォッシャーマン距離 $ d_{mW}(\textbf{F}, \textbf{Z}) $ を、階数 $ p, q $ のすべてのペアについての和で評価し、階乗、二項係数、収縮ノルムを含む。
• 対角項（$ p = q $）と非対角項（$ p \neq q $）を区別し、それぞれの収縮寄与を別個に表現する。
• 理論をブレウアー＝マジョール設定に適用し、$ F_n = \frac{1}{\tilde{n}} \bigsum_{k=1}^n \big( g(X_k) - \text{E}[g(X_k)] \big) $ とし、$ X $ を定常ガウス過程とする。
• このアプローチにより、収束速度が関数 $ g $ のエルミートランクと、$ f_r \neq 0 $ となる最小の $ r $ として定義される「混合ギャップ」の相互作用に依存することが明らかになった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核のノルムのみを用いて、無限ウィエンャー混合分解における関数に対する定量的中心極限定理を確立できるか？
• RQ2 関数 $ g $ のエルミートランクは、ガウス過程のべき変動における中心極限定理の収束速度にどのように影響するか？
• RQ3 「混合ギャップ」（最初の非ゼロ混合次数）が収束速度を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 分数 Browm運動のべき変動の収束速度は、モーメントの順序 $ p $ に依存するのか、それとも普遍的か？
• RQ5 マルリヴィン＝スタイン法は、ポアンカレ型不等式に依存せずに、無限混合設定において最適で解析的な評価を得るために拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、ウィエンャー空間上の関数 $ F $ と標準ガウス変数 $ Z $ の間のウォッシャーマン距離に対する新しい定量的評価を導出する。この評価は、そのウィエンャー混合核の収縮ノルムで表される。
• 評価は $ d_{mW}(\textbf{F}, \textbf{Z}) \triangleq \text{sup}_{h \text{ リプシッツ}} |\text{E}[h(F)] - \text{E}[h(Z)]| \triangleq c \big( \text{sum over } p,q,r \text{ of terms involving } (r-1)! {p-1 \brace r-1}^2 \text{ and } \big\rfloor f_p \tilde{\bigotimes}_r f_q \big\rfloor_{p+q-2r} \big) $ で与えられ、明示的な係数を有する。
• $ g(x) = |x|^p - \text{E}[|X_1|^p] $ である分数 Browm運動のべき変動に対して、収束速度は普遍的であり、$ p $ に依存しない。これは、$ p=2 $ の二次変動に対する既知の収束速度と一致する。
• 収束速度は、関数 $ g $ のエルミートランクと混合ギャップの相互作用に支配される：エルミートランクが高くなるか、混合ギャップが大きくなると、収束が速くなる。
• ブレウアー＝マジョール設定において、本手法は最適な収束速度を達成し、第二階のポアンカレ不等式による非最適な評価を回避する。
• 結果は多次元の場合に拡張可能であり、すべての成分ペアと混合次数についての和を用いて、ベクトル値関数に対するウォッシャーマン距離の評価が得られる。