[論文レビュー] A new Quillen model for the Morita homotopy theory of DG categories

Gonçalo Tabuada|ArXiv.org|Jan 7, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ドリンフェルトのDG商と局所化対の構成を用いて、局所化対の圏(Lp)における新しいクィレンモデル構造を導入し、閉じた対称モノイダル構造を確立する。主な貢献は、DG圏のホモトピー圏におけるトーンの内部ホモ関手を、この新しいモデルにおける完全右導来内部ホモ関手として再解釈することであり、標準的なdgcatモデルが対称モノイダル構造を支持できないという問題を解決する。

ABSTRACT

We construct a new Quillen model, based on the notions of Drinfeld's DG quotient and localization pair, for the Morita homotopy theory of DG categories. This new Quillen model carries a natural closed symmetric monoidal structure and allows us to re-interpret Toen's construction of the internal Hom-functor for the homotopy category of DG categories as a total right derived internal Hom-functor.

研究の動機と目的

• 標準的なdgcatモデル構造が対称モノイダルモデル圏でないため、ホモトピー圏に整合的な内部ホモ関手を定義できないという問題を解決すること。
• 局所化対の圏(Lp)に、閉じた対称モノイダル構造を備えた新しいクィレンモデル構造を構築すること。
• この新しいモデルにおける導来テンソル積と内部ホモ関手が、Ho(dgcat)におけるトーンの構成に対応することを示すこと。
• トーンのrep_dg関手を、新しいLpモデルにおける完全右導来内部ホモ関手として再解釈すること。

提案手法

• ドリンフェルトの明示的DG商構成を用いて、局所化対の圏Lpにクィレンモデル構造を構成する。
• Lp上にテンソル積と内部ホモ関手を定義し、それらが導来関手であることを示す。
• 評価関手と自由関手を用いて、新しいLpモデルと標準dgcatモデルとの間でクィレン同値を確立する。
• dg圏におけるホモトピー下付き積とパス対象を用いて、P(B)における内部ホモ関手を定義する。
• dg関手B → B/B_contrがモリータ同値であるという事実を活用して、クィレン同値を証明する。
• Lpにおける弱同値のジグザグを用いて、F(rep_dg(A,B))がHo(Lp)におけるRHom(F(A),F(B))に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所化対の圏に、テンソル積と内部ホモ関手が導来関手となるようなクィレンモデル構造を構成可能か？
• RQ2 このLpにおける新しいモデル構造は、自然な閉じた対称モノイダル構造を備えているか？
• RQ3 この新しいモデルにおける導来内部ホモ関手は、Ho(dgcat)におけるトーンのrep_dg関手と同値か？
• RQ4 dgcatが対称モノイダルモデル圏でないという欠陥を、クィレン同値なモデルによって是正可能か？

主な発見

• Lpにおける新しいクィレンモデル構造は、標準dgcatモデルとクィレン同値であり、それらのホモトピー圏の間でホモトピー同値が成立する。
• Lpは自然な閉じた対称モノイダル構造を備えており、dgcatがこの性質を欠いているという問題を解決する。
• Ho(Lp)における導来テンソル積は、Ho(dgcat)における標準的な導来テンソル積に対応する。
• Ho(Lp)における導来内部ホモ関手RHomは、Ho(dgcat)におけるトーンのrep_dg関手と正確に一致し、これを完全右導来関手として再解釈する。
• ドリンフェルトのDG商と局所化対形式を用いることで、体上の平坦性およびコフリーバー条件が満たされることを保証する。
• F(rep_dg(A,B))とRHom(F(A),F(B))の同値性を、Lpにおける弱同値のジグザグを用いて示す。