[論文レビュー] A new regression model for positive data

Marcelo Bourguignon, Manoel Santos‐Neto+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、平均と精度パラメータに基づく新しいパrameterizationを用いたベータプライム（BP）分布を用いて、正の連続データのための新たな回帰モデルを提案する。このモデルは2次分散関数を特徴とし、平均と精度の別々の回帰構造を可能にし、指数ファミリー・モデルに比べて歪度の高いデータに対してより高い柔軟性を提供する。最尤推定と影響分析のための診断ツールを用いて推定が行われる。

ABSTRACT

In this paper, we propose a regression model where the response variable is beta prime distributed using a new parameterization of this distribution that is indexed by mean and precision parameters. The proposed regression model is useful for situations where the variable of interest is continuous and restricted to the positive real line and is related to other variables through the mean and precision parameters. The variance function of the proposed model has a quadratic form. In addition, the beta prime model has properties that its competitor distributions of the exponential family do not have. Estimation is performed by maximum likelihood. Furthermore, we discuss residuals and influence diagnostic tools. Finally, we also carry out an application to real data that demonstrates the usefulness of the proposed model.

研究の動機と目的

• 歪度が強く、ゼロに近い値をとらない正の連続応答変数のための柔軟な回帰モデルの開発。
• データに高い歪度や非線形分散構造が見られる場合に、一般化線形モデル（GLMs）の限界を克服すること。
• 解釈性とモデルの柔軟性を向上させるために、平均と精度パラメータを用いたベータプライム分布の新しいパrameterizationの提案。
• 平均および精度パラメータの両方に対して別々の回帰構造を可能にし、モデルの適応性を向上させること。
• 最尤推定、残差、局所影響診断を含む頑健な推論ツールを提供し、モデルの妥当性を検証すること。

提案手法

• 形状パラメータ $\alpha$ と $\beta$ の代わりに平均 $\mu$ と精度 $\phi$ を用いたベータプライム（BP）分布の新しいパrameterizationを提案。
• 平均 $\mu$ と精度 $\phi$ を用いたBP分布の確率密度関数（PDF）を導出。これにより、平均と精度の直接的なモデリングが可能になる。
• 応答変数 $Y_i$ が平均 $\mu_i$ と精度 $\phi_i$ のBP分布に従い、両者がリンク関数 $g_1$ と $g_2$ を通じて共変数と関連づけられる回帰モデルを構築。
• パラメータ推定に最尤推定（MLE）を採用。尤度方程式を解くために反復アルゴリズムを用いる。
• モデルの適合度評価と影響力の高い観測値の検出のため、残差と局所影響診断を開発。
• 影響度測度を導出するため、回帰子、精度共変数、および同時摂動の摂動スキームを適用。摂動行列 $\widehat{\mathbf{\Delta}}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベータプライム分布の新しいパrameterizationが、歪度のある正の連続データのモデリングの柔軟性を向上させることができるか？
• RQ2 平均と精度の回帰構造を備えた本稿で提案する回帰モデルは、歪度のある正のデータの適合性において、標準的なGLMsに比べて優れているか？
• RQ3 異なる摂動スキームが、モデル内での共変数の影響に与える影響は何か？
• RQ4 提案された残差と局所影響診断は、影響力の高い観測値を検出するのにどの程度有効か？
• RQ5 BPモデルに含まれる2次分散関数は、指数ファミリー・モデルの標準的な分散関数に比べ、より良い適合を提供するか？

主な発見

• 提案モデルは、$\text{Var}(Y_i) = \mu_i^2(1 + \mu_i)\phi_i^{-1}$ の形の2次分散関数を示し、標準GLMsでは得られない複雑な不均等分散パターンを捉えることができる。
• 平均と精度を用いた新しいパrameterizationは、解釈性を向上させるとともに、位置と散らばりの別々のモデリングを可能にする。
• 最尤推定は提案モデルに対して実行可能かつ有効であり、反復アルゴリズムによって収束が達成される。
• 残差と局所影響度測度を含む診断ツールが、成功裏に導出され、影響力の高い観測値の検出に応用された。
• 実データへの応用では、特に極めて歪度の高い正のデータに対して、他の競合モデルに比べて優れた適合性と柔軟性を示した。
• 摂動に基づく影響分析において、$\widehat{\mathbf{\Delta}}$ 行列を用いることで、さまざまな摂動スキーム下での影響力の高いケースが効果的に同定された。