[論文レビュー] A New Representation for the Symbol Error Rate

Adithya Rajan, Cihan Tepedelenlioğlu|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2012

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、加法性白色ガウス雑音（AWGN）および合成ガウス雑音下における任意の多次元信号対の符号誤り率（SER）の新しい表現を導入する。SERは、完全に単調減少関数と信号対雑音比（SNR）の非負のべき乗の積として表現される。主な貢献は、信号対の行列のランクに基づくSERの完全単調性の必要十分条件の特定であり、これはフェージングチャネル上での確率的順序付けとSER解析の簡素化を可能にする。

ABSTRACT

The symbol error rate of the minimum distance detector for an arbitrary multi-dimensional constellation impaired by additive white Gaussian noise is characterized as the product of a completely monotone function with a non-negative power of the signal to noise ratio. This representation is also shown to apply to cases when the impairing noise is compound Gaussian. Using this general result, it is proved that the symbol error rate is completely monotone if the rank of its constellation matrix is either one or two. Further, a necessary and sufficient condition for the complete monotonicity of the symbol error rate of a constellation of any dimension is also obtained. Applications to stochastic ordering of wireless system performance are also discussed.

研究の動機と目的

• AWGNおよび合成ガウス雑音下における任意の多次元信号対の符号誤り率（SER）を統一的解析フレームワークを用いて特徴づけること。
• SERが完全単調である条件を確立すること。これはフェージングチャネル上での確率的順序付けと平均SER解析に不可欠な性質である。
• 1次元および2次元信号対における既存のSERの凸性および完全単調性に関する結果を、任意の次元へ一般化すること。
• SERの完全単調性を活用して、準静的フェージングチャネル上での平均SERを比較するための新しい確率的順序 $\mathscr{G}_p$ を開発すること。
• 閉形式のSER表現を必要とせずに平均SERの式を導出できるようにする、SERの標準形表現を提供すること。

提案手法

• SERを $ P_{\text{e}}(\rho) = \rho^p \int_0^\infty e^{-\rho u} \mu(u) \, du $ として表現する。ここで $ \mu(u) \geq 0 $ であり、信号対の幾何構造と最小距離に依存する。
• 完全単調関数の理論を用いて、ラプラス変換表現を通じてSERの単調性特性を特徴づける。
• SERの完全単調性の必要十分条件を、信号対行列のランクに基づいて導出する：SERは、行列のランクが1または2のときに限り完全単調である。
• SER表現を、ミッドルトンクラスAや対称安定分布を含む非ガウス分布を含む合成ガウス雑音へ一般化する。
• 確率的順序 $\mathscr{G}_p$ を定義する：$ X_1 \leq_{\mathscr{G}_p} X_2 \Leftrightarrow \mathbb{E}[X_1^p e^{-\rho X_1}] \geq \mathbb{E}[X_2^p e^{-\rho X_2}] $（任意の $ \rho \geq 0 $ に対して）、これにより異なるフェージング分布間でのSER比較が可能になる。
• ベルンシュタインの定理を用いて、SERの完全単調性と関連する測度 $ \mu(u) $ の非負性を結びつけ、解析的取り扱いの可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多次元信号対のSERが、SNRに関して完全単調である条件は何か？
• RQ2 SER表現はAWGNを越えて、合成ガウス雑音モデルへ一般化可能か？
• RQ3 信号対行列のランクは、SERの完全単調性をどのように決定するか？
• RQ4 準静的フェージングチャネル上での任意の信号対の平均SERを比較するためのどの確率的順序が利用可能か？
• RQ5 SERは正の減衰指数関数の混合として表現可能か？また、フェージングチャネル上での平均SER解析に与える影響は何か？

主な発見

• 任意の多次元信号対のAWGN下でのSERは、$ \rho^p \int_0^\infty e^{-\rho u} \mu(u) \, du $ の形に表現可能であり、$ \mu(u) \geq 0 $ である。これにより、標準形が確立される。
• SERが完全単調であるのは、信号対行列のランクが1または2のときであり、完全単調性の必要十分条件が得られる。
• ランクが2より大きい信号対では、完全単調性は信号対の幾何構造と事前確率に依存し、ランクのみでは決定されない。
• SER表現は、ミッドルトンクラスAや対称安定分布を含む合成ガウス雑音へ一般化可能であり、適用範囲が拡大される。
• 新しい確率的順序 $\mathscr{G}_p$ が導入され、閉形式のSER表現を必要とせずに、異なるフェージング分布間での平均SER比較が可能になる。
• 高SNR領域では、$ \rho \geq 4(p + \sqrt{p}) / d_{\text{min}}^2 $ のとき、SERの2階微分が非負となり、一般の信号対において高SNR領域での凸性が確認される。