[論文レビュー] A new S-type eigenvalue localization set for tensors and its applications

Zhengge Huang, Ligong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、添字集合を互いに素な部分集合 S とその補集合に分割することにより、テンソルに対する新しい S 型固有値局在集合を提案する。これにより、既存の手法よりも固有値集合をより厳密に局在化できる。この手法により、非負テンソルのスペクトル半径および弱く既約な強 M-テンソルの最小 H-固有値に対する鋭い上限・下限が得られ、Li らおよび He と Huang の先行研究と比較して、数値例により精度の向上が確認された。

ABSTRACT

A new \emph{S}-type eigenvalue localization set for tensors is derived by breaking $N=\{1,2,\cdots,n\}$ into disjoint subsets $S$ and its complement. It is proved that this new set is tighter than those presented by Qi (Journal of Symbolic Computation 40 (2005) 1302-1324), Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 21 (2014) 39-50) and Li et al. (Linear Algebra Appl. 493 (2016) 469-483). As applications, checkable sufficient conditions for the positive definiteness and the positive semi-definiteness of tensors are proposed. Moreover, based on this new set, we establish a new upper bound for the spectral radius of nonnegative tensors and a lower bound for the minimum \emph{H}-eigenvalue of weakly irreducible strong \emph{M}-tensors in this paper. We demonstrate that these bounds are sharper than those obtained by Li et al. (Numer. Linear Algebra Appl. 21 (2014) 39-50) and He and Huang (J. Inequal. Appl. 114 (2014) 2014). Numerical examples are also given to illustrate this fact.

研究の動機と目的

• 文献に既存のものよりもより厳密な固有値局在集合を備えたテンソルのための新しい固有値局在集合を開発すること。
• 新しい局在集合を用いて、テンソルの正（半）定値性を検証可能な十分条件を提示すること。
• 非負テンソルのスペクトル半径および弱く既約な強 M-テンソルの最小 H-固有値に対する、改良された上限および下限を導出すること。
• 既存の手法と比較して、数値例により新しい境界の優位性を示すこと。

提案手法

• 添字集合 N = {1, 2, ..., n} を2つの互いに素な部分集合 S とその補集合 S̄ に分割し、新しい S 型固有値局在集合 Υ^S(𝒜) を構築する。
• 対角優勢構造を用い、行和 R_i(𝒜)、r_i^S(𝒜)、r_i^S̄(𝒜) を定義して局在領域を精緻化する。
• a_k⋯k、a_l⋯l および残差項 r_i^S(𝒜)、r_i^S̄(𝒜) を含む不等式を活用し、強 M-テンソルの固有値の最小実部 τ(𝒜) の下界を導出する。
• 固有値方程式から導かれる2次不等式が、λ_k,l^1/2(𝒜) を含む最大最小表現を導き、境界をさらに厳密にする。
• 部分集合依存の残差項を組み込み、テンソル要素の構造的対称性を活用することで、先行研究の局在集合を一般化する。
• 理論的証明により、Υ^S(𝒜) ⊆ Ω^S(𝒜) ⊆ 𝒦^S(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) が成り立つことが示され、厳密性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Qi (2005)、Li ら (2014)、および He と Huang の手法と同様に、既存のものよりもより厳密な新しい S 型固有値局在集合を構築可能か？
• RQ2 新しい局在集合を用いて、非負テンソルのスペクトル半径に対する改善された境界をどのように導出できるか？
• RQ3 弱く既約な強 M-テンソルの最小 H-固有値について、既存の手法と比較してより鋭い下界を新しい集合が得られるか？
• RQ4 部分集合 S の選択が得られる境界の厳密性に与える影響は何か？また、最適な S をどのように選べるか？

主な発見

• 新しい S 型固有値局在集合 Υ^S(𝒜) は、Qi (2005)、Li ら (2014)、Li ら (2016) が提案したものよりも厳密であることが証明された。
• 提案手法により、3次元の3階 M-テンソルに対して τ(𝒜) ≥ 6.5 という下界が得られ、先行研究の2.5および2.74の結果を著しく上回った。
• 非負テンソルのスペクトル半径および強 M-テンソルの最小 H-固有値に対する新しい境界は、Yang と Yang (2010)、Li ら (2014)、He と Huang (2014) の結果よりも鋭い。
• テンソルの正（半）定値性に関する検証可能な十分条件は、Qi (2005)、Li ら (2014)、He と Huang (2014) のものよりも範囲が広がった。
• 数値実験により、複数のテストケースにおいて、新しい境界が常に既存のものよりも厳密であることが確認された。
• 理論的枠組みにより、Υ^S(𝒜) ⊆ Ω^S(𝒜) ⊆ 𝒦^S(𝒜) ⊆ 𝒦(𝒜) ⊆ Γ(𝒜) という階層的関係が示され、徐々に厳密になる集合の系列が確立された。