[論文レビュー] A new scheme for the Klein-Gordon and Dirac fields on the lattice with axial anomaly

Miguel Lorente|ArXiv.org|Dec 24, 2003

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、(1+1)次元格子上におけるクライン=ゴルドン場およびディラック場のための、並進不変性、エルミート性、および質量ゼロの場合のチャiral対称性を保つ新しい有限差分スキームを提案する。この方法はフェルミオン二重化を回避する。このスキームにより、ゲージ不変な軸電流が得られ、連続極限において正しい軸異常を再現する。これは、格子場理論における量子異常と整合していることを示している。

ABSTRACT

Using the method of finite differences a scheme is proposed to solve exactly the Klein-Gordon and Dirac free field equations, in a (1+1)-dimensional lattice. The hamiltonian of the Dirac field is translational invariant, hermitian, avoids fermion doubling, and, for the massless case, preserves global chiral symmetry. Coupling the fermion field to the electromagnetic vector potential we construct a gauge invariant vector current leading to the correct axial anomaly.

研究の動機と目的

• フェルミオン二重化問題を回避する自由なクライン=ゴルドン場およびディラック場の格子場理論スキームの開発。
• 質量ゼロ極限におけるグローバルなチャイルド対称性を保存し、ハミルトニアンのエルミート性および並進不変性を維持すること。
• ゲージ不変なベクトル電流を構築し、連続極限において正しい軸異常を示すこと。
• ハミルトニアン構造に非局所性を導入することで、ニールセン=ニノミヤの禁断定理との矛盾を解消すること。

提案手法

• 有限差分を用いて定義される複素指数関数を用い、微分方程式 df/dx = ikf を2次精度で近似する差分方程式を満たす。
• 有限差分方程式の解から正規直交基底関数を構成し、周期的境界条件を満たす有限格子上での離散的フーリエ展開を可能にする。
• ディラック場はステガード格子上での2成分スピンルを用いて定式化され、エルミート性およびゲージ不変性を保つために有限差分および平均化作用素を用いた演算子が定義される。
• 軸電流は非局所的点分離構造を備えて定義され、ゲージ不変性を保ちつつ連続極限で正しい軸異常を再現する。
• 有限差分作用素 Δ、∇、δ と平均化作用素を組み合わせた離散的時間発展を用い、連続対称性と整合性を保つ。
• 中間場の定義を用いて、多次元空間への一般化により、(3+1)次元への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルミオン二重化を回避しつつ、チャイルド対称性およびエルミート性を保つディラック場の格子形式は構築可能か？
• RQ2 連続極限で正しい軸異常を再現するように、格子上でのゲージ不変な軸電流はどのように定義可能か？
• RQ3 ハミルトニアンに非局所性を導入することで、ニールセン=ニノミヤの禁断定理を回避可能か？ その際、重要な対称性を損なわないか？
• RQ4 有限差分スキームは、等時交換関係および場方程式の連続極限と整合性を保つか？
• RQ5 非局所的点分離を用いた軸電流により、連続極限で軸異常を回復できるか？

主な発見

• 提案された有限差分スキームは、任意の時間ステップに対して正確な解をもたらし、共変連続理論との一貫性を保証する。
• ハミルトニアンは並進不変性、エルミート性を有し、フェルミオン二重化を回避するが、非局所的である。
• 質量ゼロのディラック場はグローバルなチャイルド対称性を保ち、軸電流はゲージ不変で非局所的構造を持つ。
• 連続極限における軸電流発散は、正しい軸異常を再現する：⟨∂μjμ⁵⟩ = −1/π Fμν は、異常一致の要請に従う。
• 軸電流発散は有効作用に光子質量項をもたらし、異常による物理的実現を確認する。
• 中間場の定義を用いた多次元有限差分作用素への一般化により、(3+1)次元へのスキームの拡張が直ちに可能である。