[論文レビュー] A new separation theorem with geometric applications

Farhad Shahrokhi|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、クリーク被覆に基づく新しい長さパラメータと測度関数を用いた、グラフの新しい組合せ的分離定理を導入し、NP困難な幾何問題に対する準指数的アルゴリズムを可能にする。主な結果として、$ O(2^p l^{* (p-1)/p} u(G)^{(p-1)/p}) $ 個のクリークで被覆される頂点分離集合が、各成分の測度を $ 2\mu(G)/3 $ 以下に保証することを示し、最大独立集合、最小ユニットディスク被覆、およびピアリング問題に対する改善されたアルゴリズムを導く。

ABSTRACT

Let $G=(V(G), E(G))$ be an undirected graph with a measure function $μ$ assigning non-negative values to subgraphs $H$ so that $μ(H)$ does not exceed the clique cover number of $H$. When $μ$ satisfies some additional natural conditions, we study the problem of separating $G$ into two subgraphs, each with a measure of at most $2μ(G)/3$ by removing a set of vertices that can be covered with a small number of cliques $G$. When $E(G)=E(G_1)\cap E(G_2)$, where $G_1=(V(G_1),E(G_1))$ is a graph with $V(G_1)=V(G)$, and $G_2=(V(G_2), E(G_2))$ is a chordal graph with $V(G_2)=V(G)$, we prove that there is a separator $S$ that can be covered with $O(\sqrt{lμ(G)})$ cliques in $G$, where $l=l(G,G_1)$ is a parameter similar to the bandwidth, which arises from the linear orderings of cliques covers in $G_1$. The results and the methods are then used to obtain exact and approximate algorithms which significantly improve some of the past results for several well known NP-hard geometric problems. In addition, the methods involve introducing new concepts and hence may be of an independent interest.

研究の動機と目的

• 測度関数が部分加法性と単調性を満たすようなグラフの一般化された分離定理の構築。
• 補助グラフにおける順序付きクリーク被覆に基づく、新しい長さパラメータ $ l(G, H) $ の定義。
• 最大独立集合やユニットディスク被覆などのNP困難な幾何問題に対する、より高速なアルゴリズムの導出。
• 新しい分離フレームワークを用いて、既存のPTASおよび正確アルゴリズムの時間・空間計算量を改善すること。

提案手法

• 部分グラフに測度関数 $ \mu $ を定義し、単調性、部分加法性、非連結成分におけるモジュラリティを満たす。
• 長さパラメータ $ l(G, H) $ を、$ H $ のすべての順序付きクリーク被覆における最小値として定義し、$ G $ の辺の端点を含むクリークの間隔を測定する。
• もし $ G $ が $ p-1 $ 個のグラフ $ G_i $ と1つの弦的グラフ $ G_p $ の共通部分であるならば、$ O(2^p l^{* (p-1)/p} \mu(G)^{(p-1)/p}) $ 個のクリークで被覆される分離集合が存在することを証明する。
• 弦的グラフの構造と完全除去木を用いてクリーク分離集合を特定する。または、クリーク被覆が大きい場合には長さの性質を活用する。
• 測度関数 $ \mu(F) $ を、部分グラフに制限された円または長方形の被覆サイズとして定義することで、幾何問題に定理を適用する。
• 妥当な解は小さな候補集合 $ \mathcal{C} $ に制限できることを活用し、効率的な動的計画法を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的埋め込みに依存しない測度関数を持つグラフに対して、一般化された分離定理を定式化できるか？
• RQ2 新しい長さパラメータ $ l(G, H) $ は、帯域幅や木幅といった既知のグラフパラメータとどのように関係するか？
• RQ3 この分離フレームワークにより、NP困難な幾何問題に対する準指数的アルゴリズムが得られるか？
• RQ4 この手法は、独立集合および被覆問題の既存のPTASおよび正確アルゴリズムの計算量をどの程度改善できるか？
• RQ5 長さパラメータと区間順序の次元の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 任意のグラフ $ G $ を、測度がそれぞれ $ 2\mu(G)/3 $ 以下の2つの部分グラフに分割する分離集合が存在し、その分離集合の誘導部分グラフは $ O(2^p l^{* (p-1)/p} \mu(G)^{(p-1)/p}) $ 個のクリークで被覆可能である。
• ユニット高さ長方形に対しては、最大独立集合が $ |V(G)|^{O(\sqrt{\alpha(G)})} $ 時間で計算可能であり、以前の境界を改善する。
• ユニット高さ長方形の最大独立集合に対するPTASは、$ |V(G)|^{O(1/\epsilon)} $ 時間で実行され、$ O(|V(G)|^2) $ の記憶領域で十分であり、従来の $ |V(G)|^{O(1/\epsilon)} $ の記憶領域要件に比べて顕著な改善を示す。
• ユニットディスク被覆問題に対しては、$ n^{O(\sqrt{\text{opt}(P)})} $ 時間、$ O(n^2) $ 記憶領域で動作する準指数的正確アルゴリズムが初めて得られた。
• ユニットディスク被覆問題のPTASは $ n^{O(1/\epsilon)} $ 時間で実行可能であり、従来の $ n^{O(1/\epsilon^2)} $ の複雑さに比べて著しく改善されている。
• 長さパラメータ $ l(G, G) $ は区間順序の次元と関係がある：$ l(G, G) = 1 $ ならば $ G $ は非比較性グラフであり、区間グラフに対しては $ \dim(\prec) \leq l(G, G) + 2 $ が成り立つ。