[論文レビュー] A new series of compact minitwistor spaces and Moishezon twistor spaces over them

Nobuhiro Honda|ArXiv.org|May 1, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、D. Joyceの研究から得られるトーラス対称性を持つ自己双対計量を活用し、$$\mathbf{C}^{*}$$-作用を伴う新しい無限族のコンパクトなミニtwistor空間および関連するMoishezon twistor空間を構成する。twistor空間上の$$\mathbf{C}^{*}$$-作用によるメロモーフィック商を分析することで、これらのtwistor空間の射影的モデルが、有理曲面（ミニtwistor空間）上への円錐バンドルとして明示的に実現され、射影空間に埋め込まれ、制御された特異点を示す。主な貢献は、以前に未知であったMoishezon twistor空間の体系的かつ明示的な構成であり、LeBrunの以前の例を一般化するものである。

ABSTRACT

In recent papers math.DG/0701278 and arXiv:0705.0060, we gave explicit description of some new Moishezon twistor spaces. In this paper, developing the method in the papers much further, we explicitly give projective models of a number of new Moishezon twistor spaces, as conic bundles over some rational surfaces (called minitwistor spaces). These include the twistor spaces studied in the papers as very special cases. Our source of the result is a series of self-dual metrics with torus action constructed by D. Joyce. Actually, for arbitrary Joyce metrics and U(1)-subgroups of the torus which fixes a torus-invariant 2-sphere, we first determine the associated minitwistor spaces in explicit forms. Next by analyzing the meromorphic maps from the twistor spaces to the minitwistor spaces, we realize projective models of the twistor spaces of all Joyce metrics, as conic bundles over the minitwistor spaces. Then we prove that for any one of these minitwistor spaces, there exist Moishezon twistor spaces with only C*-action whose quotient space is the given minitwistor space. This result generates numerous Moishezon twistor spaces which cannot be found in the literature (including the author's papers), in quite explicit form.

研究の動機と目的

• トーラス対称性を持つ自己双対計量から、$$\mathbf{C}^{*}$$-作用を伴う新しいコンパクトなMoishezon twistor空間を体系的に構成すること。
• twistor空間上の$$\mathbf{C}^{*}$$-作用による商として得られるミニtwistor空間の幾何的構造を、射影空間に埋め込まれた有理曲面として明示的に特定すること。
• 任意のJoyce計量のtwistor空間の射影的モデルを、これらのミニtwistor空間上への円錐バンドルとして実現すること。
• 得られたミニtwistor空間が、Joyce計量の連続的パラメータによってパrameter化されるモジュライ空間をなすことの証明。

提案手法

• 2次元トーラス作用を伴うJoyce計量を$$n\mathbf{CP}^{2}$$上でとる。そのトーラスの$$U(1)$$-部分群のうち、2次元球面を固定するものを選択し、twistor空間上に$$\mathbf{C}^{*}$$-作用を誘導する。
• 線形系を用いてtwistor空間からミニtwistor空間へのメロモーフィック写像$$\Phi_{m}^{G_{1}}$$を構成し、その像となる曲面を射影空間内の複素曲面として明示的に記述する。
• 曲線の線形系の幾何と$$\mathbf{C}^{*}$$-部分群の作用を用いてミニtwistor空間の構造を特定し、有理正規曲線への明示的な有理円錐バンドル写像を導出する。
• メロモーフィック写像の不定点を一部ブ low-up により解消し、解消済みミニtwistor空間上に$$\mathbf{CP}^{2}$$-バンドルを構成する。
• 元のtwistor空間の射影的モデルを、これらの$$\mathbf{CP}^{2}$$-バンドル内に円錐バンドルとして実現し、LeBrunの構成を一般化する。
• この構成が、twistor空間上の$$\mathbf{C}^{*}$$-作用による自然な商空間であることが示され、$$G_1$$-不変曲線のDouady空間の唯一の成分として同定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Joyceの自己双対計量のトーラス対称性から、$$\mathbf{C}^{*}$$-作用を伴う新しいMoishezon twistor空間を体系的に構成することは可能か？
• RQ2 twistor空間上の$$\mathbf{C}^{*}$$-作用による商として得られるミニtwistor空間の明示的幾何的構造は何か？
• RQ3 twistor空間の射影的モデルを、これらのミニtwistor空間上への円錐バンドルとしてどのように実現できるか？
• RQ4 得られたミニtwistor空間は、Joyce計量の連続的パラメータによってパrameter化されるモジュライ空間をなすか？
• RQ5 メロモーフィック商写像の不定点を十分に解消し、明示的な射影的モデルを構成できるか？

主な発見

• 著者らは、Joyceの自己双対計量のトーラス作用における$$U(1)$$-部分群から生じる、射影空間に埋め込まれた有理曲面としての新しいコンパクトなミニtwistor空間の無限可算族を構成した。
• ミニtwistor空間が有理曲面であり、軽微な特異点を持つことが示され、その構造はJoyce計量の連続的パラメータに明示的に依存し、モジュライ空間をなす。
• すべてのJoyce計量のtwistor空間の射影的モデルが、これらのミニtwistor空間上への円錐バンドルとして実現され、LeBrunの$$\mathbf{CP}^{1}\times\mathbf{CP}^{1}$$上での構成を一般化する。
• twistor空間からミニtwistor空間へのメロモーフィック商写像は、不定点を部分的に解消した後、写像としての性質を持つことが示され、その像は$$G_1$$-不変曲線のDouady空間の唯一の成分である。
• twistor空間上の$$\mathbf{C}^{*}$$-作用による自然な商空間がミニtwistor空間として同定され、この構成は、その商空間への平坦かつ$$G_1$$-不変な写像をもたらす。
• 商写像の纤维が曲線であることが示され、任意の面が点に収縮されることはないため、商構成の幾何的整合性が保証される。