[論文レビュー] A new simple example of an atomic domain which is not ACCP

Hamid Kulosman|arXiv (Cornell University)|May 25, 2018

Rings, Modules, and Algebras参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、素数 $p_i$ に対し連続するものとして生成される $\frac{1}{p_i p_{i+2}}$ の部分モノイド $M$ を用いたモノイド環 $F[X;M]$ を構成することで、主イデアルの上昇鎖条件（ACCP）を満たさない、新しい単純なアトミックドメインの例を提示する。このドメインはすべての生成子が非可約であるためアトミックであるが、主イデアルの無限に厳密に増加する鎖が存在するため、$M$ はACCPを満たさず、これは命題3.1によりドメインに引き継がれる。

ABSTRACT

We give a new simple example of an atomic domain which is not ACCP. Our example is a monoid domain $F[X;M]$, where $F$ is a field and $M$ is a submonoid of the additive monoid of nonnegative rational numbers.

研究の動機と目的

• ACCPを満たさないが単純な新しいアトミックドメインの例を提供すること。これは因子論における長年のギャップを埋めるものである。
• アトミック性がACCPを意味しないことを、逆は古典的に知られているにもかかわらず、整域において示すこと。
• $M$ を非負有理数 $\mathbb{Q}_{+}$ の部分モノイドとするモノイド環 $F[X;M]$ を用いて、このような例を構成することにより、因子論的性質に対する代数的・組合せ論的制御を可能とすること。
• モノイド構造とそのイデアル鎖の挙動を明示的に分析することで、モノイド環におけるアトミック性とACCPの違いを明確にすること。

提案手法

• 連続する素数 $p_i$ を用い、加法に関して $M = \langle \frac{1}{p_i p_{i+2}} \mid i \geq 1 \rangle$ としてモノイド $M$ を定義する。
• 分母解析を用いて、各生成子 $\frac{1}{p_i p_{i+2}}$ が $M$ の中でより小さい正の元の和として書けないことを示し、$M$ におけるアトムであることを証明する。
• 主イデアルの無限に厳密に増加する鎖 $\left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_{i+1}}\right) \subset \left(\frac{1}{p_{i+1}} + \frac{1}{p_{i+2}}\right)$ を構成し、$M$ がACCPを満たさないことを証明する。
• 命題3.1を用いて、$M$ からのACCPの不成立をモノイド環 $F[X;M]$ に持ち上げ、$F[X;M]$ がACCPを満たさないことを示す。
• 背理法により $F[X;M]$ がアトミックであることを証明する：ある元が無限に因数分解可能だと仮定し、約分された形における最大の指数を分析し、大きな素数を含む分母の矛盾を示す。
• 任意のアトムが和に現れる回数は有限に制限され、分母構造が変化しないことを利用し、有限因数分解が保証されることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負有理数の部分モノイドを用いたモノイド環により、ACCPを満たさないが単純で明示的なアトミックドメインの例を構成できるか？
• RQ2 $M$ を非負有理数の部分モノイドとするモノイド環 $F[X;M]$ がアトミックであるがACCPを満たさない例は存在するか？
• RQ3 $M$ がアトミックであるならば、$F[X;M]$ もアトミックであると一般に言えるか？（本稿では一般には解決しないが、この例では成り立つことを示している。）
• RQ4 モノイド $M$ において、明示的な無限主イデアル鎖を用いてACCPの不成立を示せるか？
• RQ5 $M$ のどのような構造的性質が、$M$ がACCPを満たさないにもかかわらず $F[X;M]$ がアトミックのままであることを保証するか？

主な発見

• モノイド $M = \langle \frac{1}{p_i p_{i+2}} \mid i \geq 1 \rangle$ は、和における分母制約により、各生成子 $\frac{1}{p_i p_{i+2}}$ が非可約であるためアトミックである。
• モノイド $M$ は、列 $\left(\frac{1}{p_i} + \frac{1}{p_{i+1}}\right)_{i \geq 1}$ が主イデアルの無限に厳密に増加する鎖を形成するため、ACCPを満たさない。
• モノイド環 $F[X;M]$ は、命題3.1によりACCPを満たさないことが示された。この命題は $F[X;M]$ のACCP性質が $M$ のそれと関連していることを示している。
• モノイド環 $F[X;M]$ は背理法によりアトミックであることが証明された：無限因数分解が可能だと仮定すると、元の指数に存在しない素数 $p_j$ を分母に含むことになり、矛盾が生じる。
• 構成は単純かつ明示的であり、有理数と素数の添え字のみを用いるため、因子論におけるさらなる研究に適している。
• この例は、アトミック性がACCPを意味しないことを示しており、良好に整ったモノイド環においてもこの現象が生じることを新しくかつ素朴な形で示している。