[論文レビュー] A new take on spherical, Whittaker and Bessel functions (Spherical and Whittaker functions via DAHA I,II)

Ivan Cherednik, Xiaoguang Ma|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、二重アフィンヘッケ代数（DAHA）を用いて、球面関数、ウィッタッカー関数、ベッセル関数の新しい枠組みを確立し、p進および量子可積分系を統一する。アフィン対称化子の2つの公式の比例関係を証明する——1つはサタケ型写像を介し、もう1つはDAHAの多項式表現を介する——これにより、カツ＝ムーディおよびデムルーのキャラクター関係が一般化される。さらに、スピンオル・ウィッタッカー関数を導入し、q-Toda-Dunkl作用素およびアフィンKZ方程式と関連付ける。

ABSTRACT

This paper is based on the lectures given by the first author at Harvard in February and March, 2009. It begins with an introduction to the classical p-adic theory of the Macdonald, Matsumoto and Whittaker functions. Its major directions are as follows: 1) extending the theory of DAHA to arbitrary levels; 2) the affine Satake isomorphism and Hall functions via DAHA; 3) the spinor Dunkl operators for the Q-Toda equation; 4) applications to the nil-DAHA and q-Whittaker functions; 5) the technique of spinors in the differential theory and its applications to the AKZ-QMBP isomorphism theorem.

研究の動機と目的

• DAHAを用いて球面関数とウィッタッカー関数の理論を統一し、古典的p進およびマクドナルド理論をアフィン的および量子的設定へと拡張すること。
• DAHAの多項式表現を用いて、アフィンホール関数に対する新しいサタケ型同型を確立すること。
• ランク1におけるスピンオル（非対称）ウィッタッカー理論を構築し、q-Toda-Dunkl作用素とアフィンKZ方程式を結びつけること。
• DAHA＝フーリエ双対性と共鳴理論を用いて、グローバル関数の幾何的・カテゴリカル的意味とその漸近展開を明確化すること。
• K理論的およびモノドロミー的解釈を通じて、DAHA、ヴェルリンデ代数、W代数、および量子ラングランズプログラムとの関係を探索すること。

提案手法

• DAHAの多項式表現を用いて、古典的サタケ型公式とは対照的な、アフィン対称化子の新しい公式を導出する。
• DAHAにおけるE多項式およびP-hat構成を適用し、任意のレベルにおけるホール関数および対称化子の明示的公式を導出する。
• nil-DAHAおよびルイゼナールス極限を用いてスピンオル・ウィッタッカー関数を導入し、q-Toda-Dunkl作用素の固有関数を構成する。
• スピンオル・ダンクル作用素を用いて、アフィンKZ方程式と量子多体問題（ヘックマン＝オプダム系）との間の同型を確立する。
• 退化DAHAおよび有理関数極限を用いてベッセル関数およびハンケル変換と接続し、複素解析的理論を可能にする。
• DAHA＝フーリエ変換およびガウス重み付き多項式表現の自己双対性を用いて、グローバル関数を再生核として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン対称化子は、サタケ写像およびDAHAの多項式表現の両方でどのように表現可能であり、それらの比例関係の意味は何か？
• RQ2 スピンオル（非対称）ウィッタッカー関数はq-TodaおよびAKZ系において果たす役割は何か？ そしてグローバルq-ウィッタッカー関数とどのように関係するか？
• RQ3 グローバル関数の漸近展開、特にセクターの壁における共鳴条件を含めたものにより、そのグローバルな解析的構造はどのように決定されるか？
• RQ4 nil-DAHAにおけるスピンオル・ハット表現の幾何的・K理論的解釈は何か？ そしてその双対性（バー表現との中）はいかなるものか？
• RQ5 AKZ方程式のモノドロミーから得られる結合子は、qガンマ関数およびDAHAにおけるディログラミッド的構造とどのように関係するか？

主な発見

• サタケ型写像およびDAHAの多項式表現を介する2つのアフィン対称化子の公式の比例関係が厳密に確立され、カツ＝ムーディおよびデムルーのキャラクター公式が一般化される。
• スピンオルq-ウィッタッカー関数のp進極限は、任意のルート系に対して有効な新しい非対称p進ウィッタッカー関数をもたらす。
• ランク1において、P-hat関数はYのべき作用に関して安定化し、その極限がq-Toda方程式の解であることが示される。
• スピンオル・ウィッタッカー関数は、DAHAを用いてq-Toda-Dunkl系の解として構成され、E多項式およびインターリンプ理論から明示的公式が導出される。
• スピンオル・ダンクル作用素を介して、アフィンKZ方程式と量子多体問題（ヘックマン＝オプダム系）との間の自然な同型が確立される。
• グローバルq-ウィッタッカー関数がDAHA＝フーリエ変換の再生核であることが示され、その解析的構造は漸近展開および共鳴条件によって固定される。