[論文レビュー] A new technique for proving uniqueness for martingale problems

Richard F. Bass, Edwin Perkins|ArXiv.org|Oct 3, 2007

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、定数係数作用素とその関連する半群の混合として生成子を近似することにより、楕円型拡散過程のマルティングル問題における一意性を示す新しい手法を提案する。この手法は、拡散係数のホルダー連続性のもとで一意性を確立し、従来の方法（例えばシュアダー推移や摂動論）が失敗するような状況においても有効である。

ABSTRACT

A new technique for proving uniqueness of martingale problems is introduced. The method is illustrated in the context of elliptic diffusions in $R^d$.

研究の動機と目的

• 楕円型拡散過程のマルティングル問題における解の一意性を示す新しい手法を開発すること。
• 古典的手法（例えばラプラシアンの摂動やシュアダー推移）が、正則性が不十分なために失敗する状況に対処すること。
• 無限次元確率過程（例えば無限次元SDEやスーパープロセス）にも適用可能な枠組みを提供すること。
• 重い解析的道具を用いずに、ホルダー連続性のもとで一意性の短く初等的な証明を提供すること。
• 非摂動的状況（例えば変数オーダーのジャンプ過程や退化拡散）において、この手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 変数係数生成子 $\mathcal{L}$ を定数係数作用素 $\mathcal{M}^{a(y)}$ の混合として近似する。
• $\mathcal{L}$ に関連する半群の近似を、半群 $P_t^{a(y)}$ の混合を用いて構築する。
• 生成子と半群の関係を表すリゾルベント作用素 $R_\lambda^{a(y)}$ を用い、$({\lambda} - \mathcal{M}^{a(y)})R_\lambda^{a(y)} = I$ を満たすようにする。
• 2つの解 $\mathbb{P}_1, \mathbb{P}_2$ を比較するための関数 $S_\lambda^\Delta f = S_\lambda^1 f - S_\lambda^2 f$ を定義する。
• $g \in C^2$ で compact な台を持つためのテスト関数 $f_\varepsilon(x) = \int R_\lambda^{a(y)}(p^{a(y)}(\varepsilon, \cdot, y))(x) g(y) dy$ を構築する。
• $({\lambda} - \mathcal{L})f_\varepsilon$ を2つの項に分解する：$I_\varepsilon$（半群に関連する項）と $J_\varepsilon$（係数の変動に関連する項）とし、$J_\varepsilon$ をホルダー連続性を用いて評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的手法（例えば摂動論やシュアダー推移）が失敗する状況において、マルティングル問題の一意性を示す新しい手法を開発することは可能か？
• RQ2 定数係数半群の混合を用いて、変数係数拡散過程の解半群を近似することは可能か？
• RQ3 関数不等式とリゾルベント推移を用いて、同一のマルティングル問題に対する2つの解の差をどのように制御できるか？
• RQ4 この新手法が成功するための拡散係数の正則性条件は何か？
• RQ5 この手法は非マルコフ的または無限次元確率過程へと拡張可能か？

主な発見

• 本手法は、係数のホルダー連続性のもとで、楕円型作用素 $\mathcal{L}f(x) = \sum_{i,j=1}^d a_{ij}(x) D_{ij}f(x)$ に関連するマルティングル問題の一意性を証明する。
• 証明により、十分大きな $\lambda$ に対して $\|J_\varepsilon\| \leq \frac{1}{2}\|g\|$ が成り立つことが示され、これは収縮補題に帰着される。
• $\varepsilon \to 0$ の極限を取ることで、$|S_\lambda^\Delta g| \leq \frac{1}{2} \Theta \|g\|$ が得られ、これより $\Theta = 0$ であることが導かれる。
• 関数 $S_\lambda^\Delta$ の消滅は、2つの測度 $\mathbb{P}_1$ と $\mathbb{P}_2$ における有限次元分布の一致を意味する。
• 局所化を必要とせず、古典的手法に比べて証明が短く初等的である。
• 本手法は、生成子が固定作用素の摂動として見なせない問題（例えば変数オーダーのジャンプ過程や特定のSPDE）にも適用可能である。