[論文レビュー] A New Test for Chaos

Georg A. Gottwald, Ian Melbourne|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2002

Chaos control and synchronization参考文献 16被引用数 309

ひとこと要約

本稿は、位相空間再構成や基礎方程式の知識を必要とせず、時間系列データに直接作用する、決定論的力学系における混沌のための新規な 0–1 テストを提案する。この手法は、平均二乗変位成長率 K を計算し、K ≈ 0 は非混沌的ダイナミクス、K ≈ 1 は混沌的ダイナミクスを示す。観測可能量と位相変数から導かれる時間平均関数を用いることで、ODE、PDE、写像に適用可能な普遍的で低コストの診断法を提供する。

ABSTRACT

We describe a new test for determining whether a given deterministic dynamical system is chaotic or nonchaotic. (This is an alternative to the usual approach of computing the largest Lyapunov exponent.) Our method is a 0-1 test for chaos (the output is a 0 signifying nonchaotic or a 1 signifying chaotic) and is independent of the dimension of the dynamical system. Moreover, the underlying equations need not be known. The test works equally well for continuous and discrete time. We give examples for an ordinary differential equation, a partial differential equation and for a map.

研究の動機と目的

• システムの式や位相空間再構成の知識を必要としない、普遍的で計算コストの低い混沌のテストを開発すること。
• ODE、PDE、写像を含む高次元または複雑なシステムにおいて、時間系列データのみを用いて混沌の検出を可能とすること。
• 非混沌的または混沌的挙動を示す二値診断（0 または 1）を提供し、成長率 K を用いて明確な数値的区別を可能とすること。
• 線形化や埋め込みを回避することで、高次元や実験的データにおいても Lyapunov 指数の計算に伴う制限を克服すること。

提案手法

• 本手法は、$ p(t) = \int_0^t \phi(\mathbf{x}(s)) \cos(\theta(s)) \, ds $ として関数を定義する。ここで $ \theta(s) = cs + \int_0^s \phi(\mathbf{x}(u)) \, du $ であり、$ c > 0 $ は任意に選ばれる。
• 観測可能量 $ \phi(\mathbf{x}) $ が選ばれる（通常は $ x_1 $ のような単純な成分）。この観測可能量が $ p(t) $ のダイナミクスを駆動する。
• 平均二乗変位（MSD）$ \mathbf{M}(t) $ は、$ p(t) $ の二乗増分の時間平均として計算され、過渡状態への感受性を低減する。
• 成長率 $ K = \lim_{t \to \infty} \log(\mathbf{M}(t) + 1) / \log t $ は、$ \log \mathbf{M}(t) $ と $ \log t $ の線形回帰により推定される。
• 診断として $ K \approx 0 $ は $ p(t) $ の有界性を示し、非混沌的ダイナミクスを意味する。$ K \approx 1 $ は拡散的成長を示し、混沌的ダイナミクスを意味する。
• 線形的ドリフトが元来正則な運動と混沌的運動の区別を曇らせるのを防ぐために、$ \theta(t) $ を用いた $ \mathbb{R}^2 $ 拡張が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間再構成やシステムの式の知識を必要とせず、時間系列データに直接作用する二値の混沌テストを構築可能か？
• RQ2 $ p(t) $ の平均二乗変位の成長率 $ K $ は、混沌的と非混沌的ダイナミクスを識別するための信頼性があり普遍的な指標か？
• RQ3 本テストは、PDE や写像を含む高次元系の混沌を、最小限の計算コストで区別可能か？
• RQ4 定義における位相変数 $ \theta(t) $ の導入が、正則運動と混沌的運動の区別を曇らせる線形的ドリフトをどのように排除するか？

主な発見

• 非混沌的ダイナミクスでは $ p(t) $ は有界のままであるため、$ \mathbf{M}(t) $ も有界となり、結果として $ K \approx 0 $ となる。
• 混沌的ダイナミクスでは $ p(t) $ は漸近的にブラウン運動に類似した挙動を示し、$ \mathbf{M}(t) \sim t $ となるため、$ K \approx 1 $ となる。
• 本手法は、次元や方程式の形に関係なく、任意の決定論的系に普遍的に適用可能である。これは ODE、PDE、写像を含む。
• 本テストは $ p(t) $ と $ \theta(t) $ のための追加の微分方程式がたった2つであるため、$ n $ 次元系では $ n^2 $ 個の微分方程式を必要とする Lyapunov 指数の計算よりもはるかに効率的である。
• 観測可能量 $ \phi $ の選択に対して診断 $ K $ は頑健であり、ほとんどすべての非退化な $ \phi $ が正しい分類をもたらす。
• 強制された van der Pol オscillator における数値結果は、$ \omega $ の変化に伴い、$ K \approx 0 $（非混沌的）と $ K \approx 1 $（混沌的）の領域が明確に分離していることを示している。