[論文レビュー] A new test for stick-slip limit cycles in dry-friction oscillators with small nonlinear friction characteristics

Oleg Makarenkov|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Gear and Bearing Dynamics Analysis参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Stribeck効果を含む小さな非線形摩擦を有する乾性摩擦振動子におけるスティックスリップ極小循環の存在について、新しい摂動に基づく十分条件を提案する。主な結果は、非線形摩擦の微分の積分を含む定量的不等式であり、これが周期的スティックスリップ運動が出現する条件を決定づけ、発散に基づく手法よりもより正確なテストを提供する。

ABSTRACT

We consider a dry friction oscillator on a moving belt with both the Coulomb friction and a small nonlinear addition which can model e.g. the Stribeck effect. By using the perturbation theory, we establish a new sufficient condition for the nonlinearity to ensure the occurrence of a stick-slip limit cycle. The test obtained is more accurate compared to what one gets by building upon the divergence test.

研究の動機と目的

• 小さな非線形摩擦特性を有する乾性摩擦振動子におけるスティックスリップ極小循環の存在に関する厳密な数学的条件を確立すること。
• 既存の発散に基づくテストの限界を克服すること。これらは、スティックスリップ循環が存在する場合でさえも検出に失敗することがある。
• 摂動論を用いて、小さな非線形摂動を有する分岐的滑らかでない系におけるグラジングスライディング分岐を分析すること。
• Stribeck摩擦モデルに対して、有限時間安定なスティックスリップ極小循環の出現を保証する、具体的かつ計算可能な条件を導出すること。
• 逆不等式が成り立つとε→0+においてそのような循環が存在しないことを示すことにより、条件の鋭さを実証すること。

提案手法

• 摂動論を用いて、スイッチング超平面$x_2 = V$の近傍における解の挙動を分析し、特に周期的運動からスライディングへの遷移に注目する。
• フィリッポフの微分包含論を用いて、不連続面$x_2 = V$に沿ったスライディング解を厳密に定義する。
• 非線形摩擦項$F$の$ u$に関する微分の積分に基づく十分条件（式3）を導出する。この積分は$[0, 2 au]$上で$ au$-周期的に行われる。
• 軌道が$ u = 0$の下で$ au = 2 au$において$x_2 = V$に接触し、$ u > 0$が小さいときには再び超平面に戻るというグラジングスライディング分岐のシナリオを構築する。これは極小循環を示唆する。
• 一般条件をStribeck摩擦モデル$F( u, u) = \frac{1-\beta}{1+\nu\theta|\nu|} + \beta + \nu\beta\nu^2$に適用し、明示的な代数的基準（式18）を導出する。
• 新しいテストと発散に基づく手法を比較し、新しい条件が安定なスティックスリップ循環を検出する上で、より正確かつ制限が少ないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Coulomb摩擦に小さな非線形項が加わった乾性摩擦振動子において、どのような条件下で安定なスティックスリップ極小循環が出現するか？
• RQ2 摂動に基づくアプローチは、古典的な発散テストに比べて、スティックスリップ振動を検出する上でどのように向上するか？
• RQ3 グラジングスライディング分岐が有限時間安定な極小循環を生じるための明確な数学的条件は何か？
• RQ4 導出された条件は、Stribeck摩擦モデルに明示的に適用可能であり、スティックスリップ挙動を評価するための計算可能な基準を提供できるか？
• RQ5 導出された十分条件は鋭いか？すなわち、逆不等式が成り立つと、$ \nu \to 0^+$においてスティックスリップ循環が存在しないことが保証されるか？

主な発見

• スティックスリップ極小循環の存在に関する新しい十分条件が導出された：$ cV\tau < \bigint_{0}^{2\tau} F_{\nu}'(V\tau\text{cos}\tau - V, 0)\text{cos}\tau d\tau $。この条件は非線形摩擦項の微分に依存する。
• この条件が鋭いことが示された：不等式の逆が成り立つと、$ \nu \to 0^+$においてスティックスリップ極小循環は存在しない。これは、このような循環のパrameter spaceの境界を示している。
• Stribeck摩擦モデル$ F(\nu, \nu) = \frac{1-\beta}{1+\nu\theta|\nu|} + \beta + \nu\beta\nu^2 $に対して、条件は$ -c + \theta(1-\beta) - 2\beta V > 0 $に簡略化され、単純な代数的基準が得られる。
• 新しいテストは発散に基づく手法よりも正確である。発散が十分に正でない場合にでも、新しい条件は循環を検出できる。
• 非線形性の重要性が確認された：小さな粘性減衰を伴う純粋なCoulomb摩擦では、スティックスリップ極小循環は生じない。これは、このようなダイナミクスが非線形摩擦の存在に依存することを示している。
• 導出された条件が成り立つ限り、すべての十分に小さい$\nu > 0$に対して、有限時間安定なスティックスリップ極小循環の存在が厳密に証明された。