[論文レビュー] A new topology on the space of unbounded selfadjoint operators and the spectral flow

Charlotte Wahl|ArXiv.org|Jul 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可分ヒルベルト空間上の非有界自己共役作用素の空間に、解像作用素の強い連続性および特定のクラスの滑らかな関数計算写像によって定義される、より弱い位相を導入する。この位相において、自己共役フレドホルム作用素の空間が関手 $K^1$ を表現することを確立し、一般のフレドホルム作用素の空間が $K^0$ を表現する。さらに、この位相に一般化されたスペクトルフローを定義し、ユニタリ経路を介してねじれ数と関連付ける。

ABSTRACT

We define a new topology, weaker than the gap topology, on the space of selfadjoint unbounded operators on a separable Hilbert space. We show that the subspace of selfadjoint Fredholm operators represents the functor $K^1$ from the category of compact spaces to the category of abelian groups and prove a similar result for $K^0$. We define the spectral flow of a continuous path of selfadjoint Fredholm operators generalizing the approach of Booss-Bavnek--Lesch--Phillips.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体を含む幾何的応用に適した、非有界自己共役作用素の空間に新たなより弱い位相を定義すること。
• この新しい位相のもとで、自己共役フレドホルム作用素の空間が関手 $K^1$ を表現することを示すこと。
• この新しい位相のもとで、一般のフレドホルム作用素の空間が部分位相により関手 $K^0$ を表現することを示すこと。
• 連続経路に対するスペクトルフローを定義・研究し、Booss-Bavnek–Lesch–Phillipsのアプローチを一般化すること。
• 関連するユニタリ経路のねじれ数とスペクトルフローを関連付け、非可換 $K$-理論の結果を古典的関数解析を用いて回復すること。

提案手法

• 解像作用素 $(D_t \pm i)^{-1}$ が強作用素位相で $t$ に関して連続であり、かつ $\phi(D_t)$ が連続であるような、ある偶関数 $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$ で $\phi' > 0$ が $(-\varepsilon,0)$ 上で成り立つものを用いて、新しい位相を定義する。
• この位相がギャップ位相よりも厳密に弱いかつ、ユニタリ共役や有界変換における連続性といった重要な性質を保つことを証明する。
• 自己共役作用素の関数計算を用いて、$\phi(D_t)$ の連続性と解像作用素およびスペクトル射影の強い連続性との関係を確立する。
• $(D_t)_{t \in [0,1]}$ が $\mathfrak{SF}(H)$ に属する連続経路に対して、正規化関数 $\chi$ を用いた $\chi(D_t)$ に関連するスペクトル射影の指数を用いて、スペクトルフローを定義する。
• スペクトルフローのホモトピー不変性を確立し、写像 $t \mapsto e^{\pi i(\chi(D_t) + 1)}$ を介してねじれ数と関連付ける。
• 同型 $\pi_1(\mathcal{U}_K(H)) \cong \mathbb{Z}$ を用いて、スペクトルフローが関連するユニタリ経路のねじれ数に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界自己共役作用素の空間に、自己共役フレドホルム作用素の空間が $K^1$ を表現するような、より弱い新しい位相を定義できるか？
• RQ2 この新しい位相は、ギャップ位相とは異なり、ユニタリ共役や有界変換における連続性を保っているか？
• RQ3 この新しい位相において、連続経路に対するスペクトルフローを一般化できるか？また、端点が可逆であるとき、古典的定義と一致するか？
• RQ4 この位相における連続経路のスペクトルフローは、関連するユニタリ経路のねじれ数に等しいか？
• RQ5 非可換 $K$-理論（例：ヒルベルト $C^*$-代数モジュールによるスペクトルフロー）の結果は、ヒルベルト空間上の古典的関数解析のみを用いて回復可能か？

主な発見

• 新しい位相はギャップ位相よりも厳密に弱いかつ、連続経路の有界変換が連続のままであることを保証する。
• この位相のもとで、自己共役フレドホルム作用素の空間は、コンパクト空間からアーベル群への関手 $K^1$ を表現する。
• この位相のもとで、一般のフレドホルム作用素の空間は部分位相により関手 $K^0$ を表現する。
• この位相における自己共役フレドホルム作用素の連続経路のスペクトルフローは適切に定義されており、ヒルベルト空間の場合の非可換スペクトルフローと一致する。
• 可逆な端点を持つ連続経路に対して、スペクトルフローは $\mathcal{U}_K(H)$ 内の経路 $t \mapsto e^{\pi i(\chi(D_t) + 1)}$ のねじれ数に等しい。
• スペクトルフローはホモトピー不変であり、ユニタリ共役のもとでも不変であり、経路が閉じている（$D_0 = D_1$）場合でも、正規化関数が存在する限り成り立つ。