[論文レビュー] A new tractable combinatorial decomposition

Binh-Minh Bui-Xuan, Michel Habib+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 52被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、グラフモジュールと二重結合を一般化する、新しい組合せ的分解枠組みであるumodulesを導入する。この枠組みにより、無向グラフやトーナメントを含む同型関係の多様な構造について、多項式時間での分解が可能となる。自然な公理を満たす構造に対して一意の分解木が確立され、グラフやトーナメントでは線形時間アルゴリズムが得られ、cograph理論とラウンドトーナメント理論が新たな特徴付けと効率的アルゴリズムによって統合される。

ABSTRACT

This paper introduces the umodules, a generalisation of the notion of module in graph theory. The structure to be decomposed, so-called homogeneous relation, captures among other undirected graphs, tournaments, digraphs, and 2-structures. Our resulting decomposition scheme when restricted to undirected graphs generalises the well-studied modular graph decomposition, and meets the recently introduced bi-join decomposition. All other cases up to our knowledge lead to new notions. First some properties of the umodule family are presented. Polynomial-time algorithms for non-trivial umodule existence test and for maximal umodule computation are then provided. When the input structure fulfills some natural axioms, the umodule family is shown to own a unique decomposition tree. We provide various algorithms to compute this tree in polynomial time: their exact performance depends on some size assumption. Among other our theory applies to two particular cases: undirected graphs and tournaments. First, the latter tree-decomposition time in theses two cases is linear in the size of the input structure. Besides, our work here can also be seen as a unification of the bi-join undirected graph decomposition and of a new tournament decomposition. From this viewpoint, we address the total decomposability of those structures, and obtain strong structural relationship between the so-called cographs and round tournaments. We then show how our theory provides a very natural manner to obtain several results on the so-called round tournaments, including characterisation by forbiding induced subgraphs, recognition, isomorphism testing, and feedback vertex set computation.

研究の動機と目的

• 無向グラフ、トーナメント、2-構造を含む、より広範な構造クラスへのグラフモジュール概念の一般化を図ること。
• 非自明なumodulesの検出および同型関係における最大umodulesの計算のための多項式時間アルゴリズムの開発。
• 自然な公理を満たす構造に対して一意の分解木を確立し、効率的な構造的解析を可能にすること。
• 特にcographの二重結合分解と新しいトーナメント分解を統合する既存の分解理論の統合。
• ラウンドトーナメントおよびcographにおける認識、同型性テスト、フィードバック頂点集合の計算に関する新たなアルゴリズム的結果の導出。

提案手法

• 同型関係（無向グラフ、トーナメント、有向グラフを含む）上で定義される、グラフモジュールの一般化としてumodulesを導入する。
• umodule族が一意の分解木を形成するための公理を確立し、構造的一致性を保証する。
• 入力構造に非自明なumodulesが存在するかをテストする多項式時間アルゴリズムを開発する。
• すべての最大umodulesを計算する多項式時間アルゴリズムを設計し、分解の基盤を構築する。
• 具体的なケース（無向グラフとトーナメント）に分解木構築法を適用し、線形時間の時間計算量を達成する。
• 分解木を用いて、cographおよびラウンドトーナメントの新しい構造的特徴付けとアルゴリズム的結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフモジュールの概念を、トーナメントや2-構造を含むより広範な組合せ的構造クラスへ一般化できるか？
• RQ2 与えられた構造のumodule族に対して、どのような条件下で一意の分解木が存在するか？
• RQ3 分解木はどのように効率的に計算可能か？特に無向グラフやトーナメントのような特定クラスでは、その時間計算量はどのようになるか？
• RQ4 umoduleフレームワークは、二重結合分解やトーナメント分解といった既存の分解理論を統合できるか？
• RQ5 この分解フレームワークを用いて、cographおよびラウンドトーナメントにおける新たなアルゴリズム的および構造的結果をどのように導出できるか？

主な発見

• umodulesフレームワークは、無向グラフのモジュラー分解と二重結合分解を統合し、これらの概念を統一的な視点で捉える。
• 無向グラフおよびトーナメントにおいて、分解木は入力サイズに比例する線形時間で計算可能である。
• 理論により、分解構造から導かれる禁止部分グラフを用いたcographの新しい特徴付けが可能となる。
• ラウンドトーナメントの認識と同型性テストは、分解木を用いることで効率的に解ける。
• ラウンドトーナメントのフィードバック頂点集合問題は、分解フレームワークを用いることで多項式時間で解ける。
• 入力構造が特定の自然な公理を満たす場合、umodule族は一意の分解木の性質を満たし、構造的一致性が保証される。