[論文レビュー] A new truncated $M$-fractional derivative type unifying some fractional derivative types with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、古典的微分積分法の性質を満たす単一の作用素として、 conformable, alternative, generalized alternative, および $M$-fractional 衍生を統合する新しい切り捨てられた $M$-分数階微分 ${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ を導入する。この手法は1パラメータの切り捨てられたミタグ・レフラー関数を用い、$M$-分数階熱方程式に対する解析的解を可能にし、$β \to 1$ および $α \to 1$ の極限において既知の解に還元されることを示し、整数階および分数階微分積分法の枠組みと整合性を示している。

ABSTRACT

We introduce a truncated $M$-fractional derivative type for $α$-differentiable functions that generalizes four other fractional derivatives types recently introduced by Khalil et al., Katugampola and Sousa et al., the so-called conformable fractional derivative, alternative fractional derivative, generalized alternative fractional derivative and $M$-fractional derivative, respectively. We denote this new differential operator by $_{i}\mathscr{D}_{M}^{α,β}$, where the parameter $α$, associated with the order of the derivative is such that $ 0 0$ and $ M $ is the notation to designate that the function to be derived involves the truncated Mittag-Leffler function with one parameter. The definition of this truncated $M$-fractional derivative type satisfies the properties of the integer-order calculus. We also present, the respective fractional integral from which emerges, as a natural consequence, the result, which can be interpreted as an inverse property. Finally, we obtain the analytical solution of the $M$-fractional heat equation and present a graphical analysis.

研究の動機と目的

• 4つの既存の分数階微分型—conformable, alternative, generalized alternative, および $M$-fractional—を、古典的微分積分法の性質を保ちつつ、1つの作用素に統合すること。
• 1パラメータの切り捨てられたミタグ・レフラー関数を用いて、新しい切り捨てられた $M$-分数階微分を定義すること。
• 関連する $M$-分数階積分を定義し、その微分作用素に対する逆関係を証明すること。
• 新しい微分作用素を用いて $M$-分数階熱方程式を解析的に解き、解の挙動を分析すること。
• 新しい微分作用素が、極限状態 $β \to 1$ および $α \to 1$ において、既知の分数階および整数階解に還元されることを示すこと。

提案手法

• 切り捨てられたミタグ・レフラー関数 $E_{\beta}^{(i)}(z)$ を用いて、1パラメータの切り捨てられた $M$-分数階微分を定義し、既存の分数階微分を一般化する。
• ${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ 作用素が、線形性、積の法則、連鎖律、ロルの定理および平均値の定理といった古典的微分積分法の性質を満たすことが示される。
• $M$-分数階積分を導入し、その逆関係が厳密に証明され、微分と積分の基本的関係が確立される。
• 変数分離法を用いて $M$-分数階熱方程式を解析的に解き、ミタグ・レフラー関数を含む級数解が得られる。
• MATLABを用いたグラフィカル分析により、パラメータ $α$ および $β$ の変化に伴う解の挙動を可視化する。
• 極限状態の分析：$β \to 1$ のとき、解は Çenesiz らの分数階熱方程式の解に収束し、先行研究と整合性を示す。$α \to 1$ のとき、解は古典的熱方程式の解に還元され、整数階微分積分法が回復されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの分数階微分作用素を構築可能か。その作用素は、conformable, alternative, generalized alternative, および $M$-fractional 衍生を統合し、かつ古典的微分積分法の性質を保つことができるか。
• RQ2 提案された切り捨てられた $M$-分数階微分が、積の法則、連鎖律、平均値の定理といった基本的な微分法則を満たすか。
• RQ3 標準的な境界条件および初期条件の下で、$M$-分数階熱方程式の解析的解は何か。
• RQ4 パラメータ $α$ および $β$ の異なる値における解の挙動はどのように変化するか。また、既知の解と比較するとどうなるか。
• RQ5 $\beta \to 1$ および $\alpha \to 1$ の極限状態では解はどのように変化するか。分数階および整数階微分積分法の既知の結果が回復されるか。

主な発見

• ${}_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$ は、線形性、積の法則、連鎖律、ロルの定理および平均値の定理を含む、すべての古典的微分積分法の性質を満たす。
• $M$-分数階積分が定義され、かつ切り捨てられた $M$-分数階微分の逆作用素であることが証明され、微分と積分の基本的関係が確立される。
• $M$-分数階熱方程式の解析的解は、正弦関数とガンマ関数、$t^\alpha$ を含む指数関数を含む無限級数として導出される。
• $\beta \to 1$ の極限において、解は Çenesiz らの分数階熱方程式の解に還元され、先行研究と整合性が確認される。
• $\alpha \to 1$ の極限において、解は古典的熱方程式の解に収束し、整数階微分積分法が回復されることを示す。
• MATLABを用いたグラフィカル分析により、解の減衰率が $α$ および $β$ に依存することが示され、$α$ が小さく、$β$ が大きい場合に減衰が遅くなることが判明し、記憶効果および非局所的効果が顕在化する。