[論文レビュー] A new truncated $M$-fractional derivative unifying some fractional derivatives with classical properties

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、4つの既存の分数階微分型—等長的、代わりの、一般化された代わりの、および$M$-分数階微分—を1つの枠組みに統合する新しい切り捨て$M$-分数階微分、$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$を導入する。この枠組みは、古典的微積分の性質を保ちつつ、解析的解法を可能にする。$M$-分数階熱方程式の解が図的妥当性とともに得られる。

ABSTRACT

We introduce a truncated $M$-fractional derivative type for $\alpha$-differentiable functions that generalizes four other fractional derivatives types recently introduced by Khalil et al., Katugampola and Sousa et al., the so-called conformable fractional derivative, alternative fractional derivative, generalized alternative fractional derivative and $M$-fractional derivative, respectively. We denote this new differential operator by $_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta }$, where the parameter $\alpha$, associated with the order of the derivative is such that $ 0 0$ and $ M $ is the notation to designate that the function to be derived involves the truncated Mittag-Leffler function with one parameter. The definition of this truncated $M$-fractional derivative type satisfies the properties of the integer-order calculus. We also present, the respective fractional integral from which emerges, as a natural consequence, the result, which can be interpreted as an inverse property. Finally, we obtain the analytical solution of the $M$-fractional heat equation and present a graphical analysis.

研究の動機と目的

• 等長的、代わりの、一般化された代わりの、および$M$-分数階微分の4つの既存の分数階微分型を、1つの整合的で整合性のある枠組みに統合すること。
• 線形性、積の法則、および合成関数の微分法則といった古典的微積分の性質を保ちつつ、これらの微分を一般化する新しい微分作用素$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$を定義すること。
• 元の関数を適切な条件下で回復する逆演算としての役割を果たす、対応する分数階積分を確立すること。
• 新しい微分作用素を用いて、$M$-分数階熱方程式を解析的に解き、図的分析を併記することでその適用可能性を示すこと。

提案手法

• 提案された作用素$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$は、$\alpha$-微分可能な関数に対して、1パラメータの切り捨てミタグ・レフラー関数を用いて定義され、$M$はこの特殊関数の関与を示す。
• この微分は、等長的、代わりの、一般化された代わりの、および$M$-分数階微分を1つの定式化で一般化するように構築されている。
• この方法により、新しい微分が線形性、積の法則、合成関数の微分法則といった古典的微積分の性質を満たすことが保証される。
• 対応する分数階積分が導出され、微分の後に積分を適用することで、適切な条件下で元の関数が回復される逆性を満たしている。
• 新しい微分を用いて、切り捨てミタグ・レフラー関数の積分表現と性質を活用し、$M$-分数階熱方程式の解析的解が得られた。
• 解の挙動を可視化するために図的分析が実施され、パラメータの変化に伴う$M$-分数階熱方程式のダイナミクスが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長的、代わりの、一般化された代わりの、および$M$-分数階微分を統合する1つの分数階微分作用素を構築可能か。その際、古典的微積分の法則が保たれるか。
• RQ2 提案された切り捨て$M$-分数階微分が、線形性、積の法則、合成関数の微分法則といった基本的微積分の性質を満たすか。
• RQ3 元の関数を回復する逆演算としての役割を果たす、対応する分数階積分は何か。また、その回復性はどのように保証されるか。
• RQ4 新しい微分作用素を用いて、$M$-分数階熱方程式のような偏微分方程式を解析的に解き、図的妥当性を示せるか。
• RQ5 パラメータの値が異なる場合、$M$-分数階熱方程式の解はどのように変化するか。図的分析から得られる洞察は何か。

主な発見

• 提案された切り捨て$M$-分数階微分$_{i}\mathscr{D}_{M}^{\alpha,\beta}$は、4つの既存の分数階微分型を1つの整合的で整合性のある作用素に統合することに成功した。
• 新しい微分は、線形性、積の法則、合成関数の微分法則といった古典的微積分の性質を保ち、標準的微分積分学との整合性を確保している。
• 元の関数を微分後に回復する逆性を満たす対応する分数階積分が導出され、微分の逆操作としての整合性が保たれている。
• 新しい微分を用いて、$M$-分数階熱方程式の解析的解が得られ、実用的応用の有効性が示された。
• 解の図的分析により、分数階$\alpha$とパラメータ$\beta$が解のプロファイルに与える影響が明らかになった。滑らかな遷移と減衰挙動が観察された。