[論文レビュー] A new Tutte polynomial for signed graphs

Andrew Goodall, Bart Litjens+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、頂点スイッチィング不変性を組み込み、正しい彩色とノンゼロフローを統一的に扱うことで、古典的 Tutte 多項式を一般化する符号付きグラフの三変数 Tutte 多項式を導入する。これは、共通の基底集合を持つマトロイド対への標準的拡張を提供し、既存の二変数双彩色多項式とは異なり、符号付きグラフにおけるフローの数を正しく捉えている。

ABSTRACT

We introduce the ``trivariate Tutte of a signed graph as an invariant of signed graphs up to vertex switching that contains among its evaluations the number of proper colorings and the number of nowhere-zero flows. In this, it parallels the Tutte polynomial of a graph, which contains the chromatic polynomial and flow polynomial as specializations. The number of nowhere-zero tensions (for signed graphs they are not simply related to proper colorings as they are for graphs) is given in terms of evaluations of the trivariate Tutte polynomial at two distinct points. Interestingly, the bivariate dichromatic polynomial of a biased graph, shown by Zaslavsky to share many similar properties with the Tutte polynomial of a graph, does not in general yield the number of nowhere-zero flows of a signed graph. Therefore the ``dichromate for signed graphs (our trivariate Tutte polynomial) differs from the dichromatic polynomial (the rank-size generating function). The trivariate Tutte polynomial of a signed graph can be extended to an invariant of ordered pairs of matroids on a common ground set -- for a signed graph, the cycle matroid of its underlying graph and its frame matroid form the relevant pair of matroids. This invariant is the canonically defined Tutte polynomial of matroid pairs on a common ground set in the sense of a recent paper of Krajewski, Moffatt and Tanasa, and was first studied by Welsh and Kayibi as a four-variable linking polynomial of a matroid pair on a common ground set.

研究の動機と目的

• 符号付きグラフに対して、頂点スイッチィング不変であり、古典的 Tutte 多項式を一般化する不変量を構築すること。
• 符号付きグラフにおける正しい彩色とノンゼロフローの数え上げを、一つの多項式枠組みで統一すること。
• 二変数双彩色多項式が符号付きグラフにおけるノンゼロフローの数を正しく捉えられていないという限界を解消すること。
• 三変数 Tutte 多項式を共通の基底集合を持つマトロイドの順序対へ拡張し、標準的形を確立すること。

提案手法

• 符号付きグラフの三変数 Tutte 多項式を、エッジ部分集合上の生成関数として定義し、バランス、向き、スイッチィング不変性を統合する。
• 基礎となるグラフのサイクルマトロイドと、符号付きグラフのフレームマトロイドを、共通の基底集合上のマトロイドの対として用いる。
• 符号付きグラフの対称性とマトロイド双対性を活用して、多項式の頂点スイッチィング不変性を確立する。
• 特定のパラメータ設定により、多項式の評価値から正しい彩色の数とノンゼロフローの数が得られることを導出する。
• Welsh と Kayibi が定義した四変数リンク多項式と、後に Krajewski, Moffatt, および Tanasa によって形式化されたものとを関連付ける。
• 双彩色多項式とは異なり、三変数 Tutte 多項式は符号付きグラフにおけるノンゼロテンションとフローの数を正しく計算できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号付きグラフに対して、頂点スイッチィング不変であり、彩色とフローの両方を捉える Tutte 型多項式をどのように構築できるか？
• RQ2 二変数双彩色多項式がなぜ符号付きグラフにおけるノンゼロフローの数を数えられていないのか、そしてその欠陥をどのように是正できるか？
• RQ3 共通の基底集合を持つマトロイド対への Tutte 多項式の標準的拡張とは何か、そして符号付きグラフとどのように関係するか？
• RQ4 Welsh と Kayibi が定義したマトロイド対のリンク多項式と、符号付きグラフの三変数 Tutte 多項式とはどのように関係するか？
• RQ5 三変数 Tutte 多項式を用いて、符号付きグラフにおけるノンゼロテンションの数を計算できるか、もしそうならどのパラメータ値で実現できるか？

主な発見

• 符号付きグラフの三変数 Tutte 多項式は頂点スイッチィング不変であり、古典的 Tutte 多項式を一般化する。
• 符号付きグラフの正しい彩色の数は、三変数 Tutte 多項式の特定のパラメータ値への特殊化として得られる。
• ノンゼロフローの数は、多項式の二つの異なる点での評価によって捉えられ、これによりフローの数え上げにおけるその役割が明確になる。
• 三変数 Tutte 多項式は、二変数双彩色多項式とは本質的に異なり、符号付きグラフにおけるノンゼロフローの正しい数え上げを提供しない。
• 多項式は共通の基底集合を持つマトロイドの順序対への標準的拡張を備えており、Krajewski, Moffatt, および Tanasa が定義した四変数リンク多項式と整合する。
• 三変数 Tutte 多項式は、特定の評価により符号付きグラフにおけるノンゼロテンションの数を正しく計算でき、従来の手法の主要な限界を解消する。