[論文レビュー] A new two parameter lifetime distribution: model and properties

Hojjatollah Zakerzadeh, Eisa Mahmoudi|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2012

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 23被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、リンドレー分布と幾何分布を合成して得られる新しい2母数の寿命分布、Lindley-geometric (LG) 分布を提案する。このLG分布は、減少・増加・バスタブ型の故障率を示すことができ、ベースラインのリンドレー分布よりも高い柔軟性を有しており、実際の生存データへの応用においてもより良好なフィットを示す。

ABSTRACT

In this paper a new lifetime distribution which is obtained by compounding Lindley and geometric distributions, named Lindley-geometric (LG) distribution, is introduced. Several properties of the new distribution such as density, failure rate, mean lifetime, moments, and order statistics are derived. Furthermore, estimation by maximum likelihood and inference for large sample are discussed. The paper is motivated by two applications to real data sets and we hope that this model be able to attract wider applicability in survival and reliability.

研究の動機と目的

• リンドレー分布と幾何分布を合成することで、より柔軟な2母数の寿命分布を構築すること。
• 生存および信頼性データにおけるバスタブ型や単峰型の複雑な故障率行動をモデル化すること。
• EMアルゴリズムを用いた最尤推定と推論手順の統計的枠組みを提供すること。
• 実世界のデータ応用と適合度の比較を通じて、モデルの性能を評価すること。
• 幾何分布による合成を用いて、リンドレー分布の適用範囲を拡張し、集中パラメータを組み込むこと。

提案手法

• LG分布は、リンドレー分布に従う確率変数を幾何分布に従う個数の成分で合成することで導出され、成分の最小値が新たな寿命変数を定義する。
• 確率密度関数（PDF）は、$ f(y) = \frac{\theta^{2}}{\theta+1}(1-p)(1+y)e^{-\theta y}\left[1 - p(1 + \frac{\theta y}{\theta+1})e^{-\theta y}\right]^{-2} $ として得られ、パラメータ $ \theta > 0 $ および $ 0 < p < 1 $ を有する。
• 故障率関数は $ h(y) = \frac{\theta^{2}(\theta+1)(1+y)}{(1+\theta+\theta y)[\theta+1 - p(1+\theta+\theta y)e^{-\theta y}]} $ と表現され、故障率行動の分析を可能にする。
• 合成プロセスに由来する潜在変数構造を扱うために、EMアルゴリズムを用いた最尤推定が実施される。
• モーメント、順序統計量、残存寿命関数、ボンフレニオ・ローレンツ曲線が解析的に導出される。
• 頑健な統計的推論を支援するため、確率加重モーメントおよび平均値および中央値からの平均偏差が計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リンドレー分布と幾何分布を合成することで、故障率のモデリングにおける柔軟性が向上する新しい2母数の寿命分布を構築可能か？
• RQ2 得られたLindley-geometric分布の解析的性質（密度関数、故障率、モーメント、順序統計量など）は何か？
• RQ3 LG分布はどのようなパラメータ条件下でバスタブ型または単峰型の故障率行動を示すか？
• RQ4 実生存データに対するフィット性において、指数分布、ワイブル分布、リンドレー分布と比較してLGモデルはどのように優れているか？
• RQ5 EMアルゴリズムは、有限標本においてLG分布のパラメータを効果的に推定し、信頼性のある推論を可能にするか？

主な発見

• LG分布は、$ \theta $ および $ p $ の値に応じて、減少・増加・バスタブ型の故障率を示すことができ、$ p > \frac{1}{1+\theta^2} $ のときバスタブ型の挙動を示す。
• 密度関数は $ p \leq \frac{1-\theta^2}{1+\theta^2} $ のとき単峰型であり、それ以外の場合は単調減少となるため、形状の柔軟性が非常に高いことが示された。
• 2つの実データセットにおいて、指数分布、ワイブル分布、リンドレー分布と比較した結果、LGモデルは優れたフィットを示した。第1のデータセットではAICとBICがそれぞれ110.6および116.6、第2のデータセットでは112.6および114.7であった。
• EMアルゴリズムはパラメータ推定において効果的に収束し、大標本における信頼性のある推論を可能にした。
• モデルのモーメント、モーメント生成関数、順序統計量は解析的に扱えるため、包括的な統計的分析が可能である。
• 確率加重モーメントおよび平均値および中央値からの平均偏差が導出され、信頼性分析および不平等分析におけるモデルの有用性が向上した。