[論文レビュー] A New Type of Continued Fraction Expansion

Dan Lascu, Ion Colţescu|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$[0, m-1]$ 内の実数に対して、分子に基数-$m$ の指数関数的項を用いた、再帰的変換 $\tau_m$ で定義される新しい連分数展開を提案する。主な貢献は、区間内のすべての無理数に対してこの展開が元の数に収束することの証明であり、誤差評価はフィボナッチ数と分母における指数的減衰を含む。

ABSTRACT

In this paper we define a new type of continued fraction expansion for a real number $x \in I_m:=[0,m-1], m\in N_+, m\geq 2$: \[x = \frac{m^{-b_1(x)}}{\displaystyle 1+\frac{m^{-b_2(x)}}{1+\ddots}}:=[b_1(x), b_2(x), ...]_m. \] Then, we derive the basic properties of this continued fraction expansion, following the same steps as in the case of the regular continued fraction expansion. The main purpose of the paper is to prove the convergence of this type of expansion, i.e. we must show that \[x= \lim_{n ightarrow\infty}[b_1(x), b_2(x), ..., b_n(x)]_m. \]

研究の動機と目的

• 実数 $[0, m-1]$ に対して、$m$ の整数乗による指数的減衰を用いた新しい種類の連分数展開を定義すること。
• 区間 $I_m = [0, m-1]$ 内のすべての無理数に対して、この展開の収束を確立すること。
• この展開の有限切り捨てによる無理数の近似に対する誤差推定を導出すること。
• この展開のメトリック理論の基盤を築くこと。特に、この新しい枠組みにおけるガウスの問題の解決可能性を含む。

提案手法

• 非ゼロ $x$ に対して $\tau_m(x) = m^{\frac{\text{log}(x^{-1})}{\text{log}(m)} - \big\rfloor \frac{\text{log}(x^{-1})}{\text{log}(m)} \big\rfloor} - 1$ を定義し、$\tau_m(0) = 0$ とすることで、指数 $b_n(x)$ の列を生成する。
• 非ゼロ $x$ に対して $b_n(x) = \big\rfloor \frac{\text{log}(x^{-1})}{\text{log}(m)} \big\rfloor$ を定義し、$b_1(0) = \infty$ とすることで、値が $\big\brace -1, 0, 1, 2, \big\brace$ の範囲に収まるようにする。
• 再帰的に変換 $\tau_m$ を用いて、連分数 $[b_1(x), b_2(x), \big\brace_m = \frac{m^{-b_1(x)}}{1 + \frac{m^{-b_2(x)}}{1 + \big\brace}$ を構成する。
• 標準的な連分数と類似した再帰関係により収束項 $p_n(\theta)/q_n(\theta)$ を定義し、$p_n = m^{b_n}p_{n-1} + p_{n-2}$、$q_n = m^{b_n}q_{n-1} + q_{n-2}$ を満たす。
• 誤差の閉形式を確立する：$|\theta - \theta_n| = \frac{\tau_m^n(\theta) m^{b_1 + \big\brace + b_n}}{q_n(q_n + \tau_m^n(\theta) m^{b_n} q_{n-1})}$。
• フィボナッチ数 $F_n$ と $m^{b_1 + \big\brace + b_n}$ の指数的増加を用いて $q_n(\theta)$ の上限を評価し、$n \to \big\brace$ のときの収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数 $[0, m-1]$ に対して、単位分子の代わりに基数-$m$ の指数関数的項を用いた新しい連分数展開を定義できるか？
• RQ2 この新しい展開は、$[0, m-1]$ 内のすべての無理数に対して元の数に収束するか？
• RQ3 この展開の $n$ 番目の収束項の誤差評価は何か？
• RQ4 分母 $q_n$ の成長は、収束速度と指数列 $b_n$ とどのように関係するか？
• RQ5 ガウス＝クズミン理論に類似した、この新しい展開のメトリック理論を構築できるか？

主な発見

• 連分数展開 $[b_1(x), b_2(x), \big\brace_m$ は、$I_m = [0, m-1]$ 内のすべての無理数 $x$ に対して $x$ に収束する。$\theta = \text{lim}_{n \to \big\brace} [b_1(\theta), \big\brace, b_n(\theta)]_m$ が成り立つ。
• $n$ 番目の収束項 $\theta_n$ と真の値 $\theta$ の間の誤差は、$|\theta - \theta_n| = \frac{\tau_m^n(\theta) m^{b_1 + \big\brace + b_n}}{q_n(q_n + \tau_m^n(\theta) m^{b_n} q_{n-1})}$ で与えられる。
• 誤差は次の二重不等式を満たす：$\frac{m^{b_1 + \big\brace + b_n}}{q_n(q_{n+1} + (m-1)^{n+1} m^{b_{n+1}} q_n)} < |\theta - \theta_n| < \frac{1}{\text{max}(F_n, m^{b_1 + \big\brace + b_n})}$。
• 分母 $q_n(\theta)$ は少なくともフィボナッチ数 $F_n$ と同じ速度で増加し、また $m^{b_1 + \big\brace + b_n}$ とも同程度以上に増加するため、誤差項の急速な減衰が保証される。
• ${\text{max}(F_n, m^{b_1 + \big\brace + b_n}) \to \big\brace}$ であるから、$n \to \big\brace$ のとき誤差はゼロに近づき、収束が証明される。
• 有理数に対しては展開は有限であり、無理数に対しては無限である。これは通常の連分数と同様の性質を示す。