[論文レビュー] A new type of factorial series expansions and applications

Ovidiu Costin, Rodica D. Costin|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2016

Mathematical functions and polynomials被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的階乗展開の収束が遅く定義域も限定される問題を克服する、幾何的収束性を示す二進階乗展開を導入する。この手法により、ベッセル関数、エアリー関数、Ei関数などの特殊関数を、複素平面上の Stokes 射線を含む全域で一様かつ数値的に効率的な表現が可能になる。さらに、Écalle 再発関数や自己随伴作用素のリゾルベント分解へも応用可能である。

ABSTRACT

We construct a new type of convergent asymptotic representations, dyadic factorial expansions. Their convergence is geometric and the region of convergence can include Stokes rays, and often extends down to 0^+. For special functions such as Bessel, Airy, Ei, Erfc, Gamma and others, this region is C without an arbitrarily chosen ray effectively providing uniform convergent asymptotic expansions for special functions. We prove that relatively general functions, Ecalle resurgent ones possess convergent dyadic factorial expansions. We show that dyadic expansions are numerically efficient representations. The expansions translate into representations of the resolvent of self-adjoint operators in series in terms of the associated unitary evolution operator evaluated at some prescribed points (alternatively, in terms of the generated semigroup for positive operators).

研究の動機と目的

• 古典的階乗展開が示す遅い（べき乗的）収束性と、Stokes 射線を含まない定義域の制限を是正すること。
• 幾何的収束性を達成し、原点および Stokes 射線を含む領域へ拡張可能な、新たな収束階乗展開のクラス「二進階乗展開」の構築。
• Ei、エアリー、ベッセル、ガンマ関数などの特殊関数の漸近展開を、複素平面上で一様収束する統一的枠組みで提供すること（ただし任意に選ばれた1本の射線を除く）。
• ユニタリ時間発展または半群を介して、二進展開と自己随伴作用素・正の作用素のリゾルベント分解との間の関係を確立すること。
• Écalle 再発関数の理論を一般化し、その発散級数が本展開により再帰的に和を求められることを示すこと。

提案手法

• 二進区間に基づく複素平面の再帰的分割を用いて、コーシー核の二進分解を構築する。
• 指数積分 Ei⁺(x) の積分表現にこの分解を適用し、スケーリングされたポッホハマー記号 (x)_k を用いた級数を得る。
• ラプラス変換と部分積分を用いて、幾何的に減少する剰余項を有する階乗級数展開を導出する。
• スターリング数の第一種を用いて表現される多価対数関数およびその導関数の性質を活用し、明示的な係数を生成する。
• Écalle 再発関数の二進展開の一般理論を確立するため、再発的要素への分解とそのボレル変換の解析を行う。
• ユニタリ時間発展作用素の二進時刻における展開を用いて、自己随伴作用素のリゾルベントを級数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進階乗展開は、収束が幾何的であり、Stokes 射線を含み、0⁺ へまで拡張可能な領域を有するように構築可能か？
• RQ2 コーシー核の二進分解を用いることで、階乗級数展開における古典的限界（収束が遅く定義域が制限される）をどのように克服できるか？
• RQ3 Ei、エアリー、ベッセル関数などの特殊関数に対して、二進展開を複素平面上で一様に適用可能か、その範囲はどの程度か？
• RQ4 二進階乗展開と自己随伴または正の作用素のリゾルベントとの間にはどのような関係があり、ユニタリ時間発展または半群を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 Écalle 再発関数の理論は、幾何的収束性を示す二進階乗展開へ拡張可能か？また、ボレル和算とはどのように関係するか？

主な発見

• 二進階乗展開は幾何的収束性を達成し、収束がべき乗的である古典的階乗級数に比べて著しく優れている。
• Ei⁺(x) の二進展開の収束領域は、負の実軸を除く複素平面全体をカバーしており、実際には ℝ⁺ における Stokes 射線を含む。
• ベッセル、エアリー、Ei、Erfc、ガンマ関数などの特殊関数に対して、任意に選ばれた1本の射線を除く ℂ 全体で一様収束する。このため、安定した漸近近似が可能である。
• 多価対数関数 Li₁/₂(z) に対しても、スターリング数および多価対数関数の高階導関数から得られる係数を用いた二進展開が成功裏に構築された。
• 剰余項は幾何的に減少し、R_n と R_nk に対する評価式から、それぞれ O(1/(y)_{n-1}) および O(1/(2^k y)_{n-1}) と表される。このため、収束が著しく速い。
• 理論は Écalle 再発関数へ拡張可能であり、その発散級数が二進階乗展開により再帰的に和を求められることを証明した。また、このような展開はボレル和算と整合的である。