[論文レビュー] A New Type of Limit Theorems for the One-Dimensional Quantum Random Walk

Norio Konno|ArXiv.org|Jun 17, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 13被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、1次元量子ランダムウォークの位置の特性関数に対する組合せ的表現を導出し、新しい型の極限定理を確立した。その結果、対称的な初期状態に対して、スケーリングされた位置 $X_n^\varphi/n$ が、$(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ 上で密度 $1/\pi(1-x^2)\sqrt{1-2x^2}$ の非ガウス型極限分布に弱収束することが明らかになった。この結果は、古典的中心極限定理とは著しく対照的であり、量子ウォークダイナミクスにおけるシミュレーション結果の厳密な解析的妥当性を裏付けた。

ABSTRACT

In this paper we consider the one-dimensional quantum random walk X^{varphi} _n at time n starting from initial qubit state varphi determined by 2 times 2 unitary matrix U. We give a combinatorial expression for the characteristic function of X^{varphi}_n. The expression clarifies the dependence of it on components of unitary matrix U and initial qubit state varphi. As a consequence of the above results, we present a new type of limit theorems for the quantum random walk. In contrast with the de Moivre-Laplace limit theorem, our symmetric case implies that X^{varphi}_n /n converges in distribution to a limit Z^{varphi} as n to infty where Z^{varphi} has a density 1 / pi (1-x^2) sqrt{1-2x^2} for x in (- 1/sqrt{2}, 1/sqrt{2}). Moreover we discuss some known simulation results based on our limit theorems.

研究の動機と目的

• 1次元量子ランダムウォークの特性関数に対する組合せ的表現を導出し、ユニタリ行列 $U$ と初期キュービット状態 $\varphi$ に依存することを明示する。
• 古典的デ・モアブル＝ラプラース定理とは根本的に異なる、量子ランダムウォークの新しい型の弱収束極限定理を確立する。
• ユニタリ行列 $U$ と初期状態 $\varphi$ が、ウォークの分布の対称性およびモーメントに与える影響を明確にする。
• ハダマードウォークやその他のケースに対する厳密な解析的極限を提示することで、既知の数値シミュレーション結果の妥当性を検証または是正する。

提案手法

• 2×2ユニタリ行列 $U$ から導かれる4つの行列 $P, Q, R, S$ を導入し、ウォークの進化を分解し、経路数え上げを容易にする。
• 経路積分的手法を用いて、確率振幅をすべての有効な経路の和として表現し、特性関数の導出を可能にする。
• 位置とチラリティの複合ヒルバート空間に作用するブロック巡回ユニタリ行列 $\overline{U}_N$ を用いて、時間発展状態 $\Psi^{(n)}(\varphi)$ を定義する。
• $P, Q, R, S$ を用いて、遷移ルールと初期状態依存性を符号化した $X_n^\varphi$ の特性関数を導出する。
• フーリエ解析と漸近的手法を適用し、$n \to \infty$ における $X_n^\varphi/n$ の弱極限を分析し、極限密度に至る。
• 一般結果をハダマードウォークのケースに特化し、対称的および非対称な初期状態に対する明示的な極限分布を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \to \infty$ のとき、量子ランダムウォークの位置 $X_n^\varphi$ の分布はどのようにスケーリングされ、極限密度は何か？
• RQ2 極限分布はユニタリ行列 $U$ と初期キュービット状態 $\varphi$ にどのように依存するか？
• RQ3 量子ウォークの極限挙動は、古典的デ・モアブル＝ラプラース定理とどのように異なるか？
• RQ4 ハダマードウォークの数値シミュレーション結果を、厳密な解析的極限によって妥当性を検証または是正できるか？
• RQ5 異なる初期状態下での $X_n^\varphi$ の平均および標準偏差の正確な漸近値は何か？

主な発見

• 対称的な初期状態 $\varphi = [1/\sqrt{2}, i/\sqrt{2}]^T$ の場合、スケーリングされた位置 $X_n^\varphi/n$ は、$(-1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ 上で密度 $1/\pi(1-x^2)\sqrt{1-2x^2}$ の極限 $Z^\varphi$ に弱収束する。
• 極限分布は非ガウス型であり、古典的正規分布よりも尾が重く、$\pm 1/\sqrt{2}$ で有界な台を持つ。
• 対称的な初期状態の場合、$X_n^\varphi$ の漸近的標準偏差を $n$ でスケーリングした値は $\sqrt{(2 - \sqrt{2})/2} \approx 0.54119$ である。
• 非対称な初期状態 $\varphi = [0,1]^T$ の場合、極限平均は $(2 - \sqrt{2})/2 \approx 0.29289$ であり、標準偏差を $n$ でスケーリングした値は $\sqrt{(\
• 非対称ケース $\varphi = [0,1]^T$ の解析的極限は、Mackayら[6]のシミュレーション結果（0.4544 ± 0.0012）を確認しており、厳密値 $\sqrt{(\
• 本稿は、先行シミュレーションにおける不一致を解消した。特に、TravaglioneとMilburn[13]が報告した標準偏差 0.6 は不正確であり、対称ケースでは正しい値が約 0.54119 であることが示された。