[論文レビュー] A New Upper Bound on 2D Online Bin Packing

Xin Han, Francis Y. L. Chin+2 more|ArXiv.org|Jun 2, 2009

Optimization and Packing Problems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$H\otimes B$ フレームワーク内での Improved Harmonic アルゴリズムの代わりに Super Harmonic アルゴリズムを用いた新しい 2次元オンラインビンパッキングアルゴリズムを提示する。新たな重み関数と一般化された分析フレームワークを導入している。主な貢献は、2.66013 の既存の最良上限を上回る、2.5545 の改善された漸近的競争比の上界を達成したことである。

ABSTRACT

The 2D Online Bin Packing is a fundamental problem in Computer Science and the determination of its asymptotic competitive ratio has attracted great research attention. In a long series of papers, the lower bound of this ratio has been improved from 1.808, 1.856 to 1.907 and its upper bound reduced from 3.25, 3.0625, 2.8596, 2.7834 to 2.66013. In this paper, we rewrite the upper bound record to 2.5545. Our idea for the improvement is as follows. In SODA 2002 \cite{SS03}, Seiden and van Stee proposed an elegant algorithm called $H \otimes B$, comprised of the {\em Harmonic algorithm} $H$ and the {\em Improved Harmonic algorithm} $B$, for the two-dimensional online bin packing problem and proved that the algorithm has an asymptotic competitive ratio of at most 2.66013. Since the best known online algorithm for one-dimensional bin packing is the {\em Super Harmonic algorithm} \cite{S02}, a natural question to ask is: could a better upper bound be achieved by using the Super Harmonic algorithm instead of the Improved Harmonic algorithm? However, as mentioned in \cite{SS03}, the previous analysis framework does not work. In this paper, we give a positive answer for the above question. A new upper bound of 2.5545 is obtained for 2-dimensional online bin packing. The main idea is to develop new weighting functions for the Super Harmonic algorithm and propose new techniques to bound the total weight in a rectangular bin.

研究の動機と目的

• 2次元オンラインビンパッキング問題の、既存の最良上界と下界の間のギャップを埋めること。
• 従来の分析フレームワークが Super Harmonic アルゴリズムに適用された際の制限を克服すること。
• Super Harmonic アルゴリズムに適した、より単純で効果的な新しい重み関数を開発すること。
• 2次元および多次元オンラインビンパッキング問題に一般化可能な分析フレームワークを構築すること。
• 従来の最先端の 2.66013 よりもタイトな漸近的競争比の上界を達成すること。

提案手法

• Seiden (2002) の複雑な関数に代わる、1次元 Super Harmonic アルゴリズム用のより単純化された重み関数を導入する。
• 2次元オンラインビンパッキングのための一般化された分析フレームワークを開発し、独立したペアワイズ解析を用いてビン内の総重みを制限する。
• 各ペアのアイテムタイプごとにビンあたり最大重みの上界を求めるために、新しい制約を導入した混合整数計画問題（MIP）を定式化する。
• GLPK ソルバを用いて、新しい重み関数と分析フレームワークを活用して MIP の最適値を計算する。
• $H\otimes B$ アルゴリズムに適用し、Improved Harmonic アルゴリズムの代わりに Super Harmonic アルゴリズムを統合する。
• 従来の手法では新しい関数では失敗するが、新しい手法ではよりタイトな上界が達成されることを示して、フレームワークの有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Super Harmonic アルゴリズムは、2次元オンラインビンパッキングの $H\otimes B$ フレームワークにうまく統合可能であり、競争比を向上させることができるか？
• RQ2 Super Harmonic アルゴリズムの重み関数と効果的に連携する新しい分析フレームワークを設計できるか？
• RQ3 新しい手法を用いた場合、2次元オンラインビンパッキングの漸近的競争比のタイトな上界は何か？
• RQ4 なぜ従来の分析手法は、この文脈における Super Harmonic アルゴリズムに適用すると失敗するのか？
• RQ5 新しいフレームワークは、より高次元のビンパッキング問題に拡張可能か？

主な発見

• 新しいアルゴリズムは、漸近的競争比が最大 2.5545 であることを達成し、従来の最良上界 2.66013 を上回った。
• Seiden (2002) のものよりもはるかに単純な、Super Harmonic アルゴリズム用の新しい重み関数は、性能を維持または向上させながら、大幅に簡素化されている。
• 一般化された分析フレームワークは、独立したペアワイズ解析を用いてビン内の総重みを適切に制限し、よりタイトな競争比推定を可能にした。
• Seiden (2002) の従来の重み関数を新しいフレームワークに適用した場合、競争比は 2.79 を超えるままであり、新しい関数の必要性を示している。
• 新しいフレームワークは 3次元ビンパッキングに拡張可能であり、$H\times H\otimes SH+$ に対して推定競争比約 4.3198 を得た。
• 新しい制約を導入した MIP 定式化は、妥当性を保ちつつ、計算実験（GLPK を用いて）により、よりタイトな上界を達成できることを検証した。